Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):


tl— 1
lim ПР(/1"1|, x, 4°, {x})
tl-> 00 k = l n— 1
= lim ПО — P (4-i, x, t[k \ X — {л:})) =
П-»оо k**l
= lim exp { X In (l — P (4-i, л:, tf\ X — {x})) ) . (4)
я->оо ft8™ 1 /
Если б выбрано так, чтобы
lim ? Р (4-ь х, tf\ X - {х}) < е,
то и lim sup Р (4-1, х, tf\ X — {х}) < е и, значит,
lim Е In 0 — Р (4-1, *, 4">, X — {*})) >
П-»оо
> [1 + О (е)] lim Е Р (4-1, *, 4"’, X — {х}).
П-±оэ
Поэтому, учитывая (3), из (4) получаем (1). И
§ 21 ОБЩИЕ СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 399
Рассмотрим в X дискретную топологию, при которой {х} является наименьшей окрестностью точки к. Всякая функция на X тогда будет непрерывной. Из соотношений
PCs, х, t + h, А) = (j Р (s, х, t, dy) Р (t, у, t + h, А)
и
limР(t, у, t + h, А) — хл(у),
ft* о
Р (s, х, s + h, {*}) Р (s + h, X, t, A) +
+ \ P(s, x, s + h, dy)P{s + h, y, t, A) = P(s, x, t, A)
X-{x}
вытекает, что для стохастически непрерывного процесса P(s,x, t,A) непрерывна справа и по s и not. Поэтому и функция
оо
^ е~и ^ Р (s, х, t + s, dy) g (у) dt
о
непрерывна справа no s. Из того, что процесс ступенчатый, вытекает, что каждое свое значение он принимает на некотором интервале, при этом этот интервал можно считать замкнутым слева (таким будет процесс, построенный в лемме 1). Однако это не гарантирует непрерывности процесса справа, как показывает пример
x(t) = k при гг< *(0) = 0.
Непрерывные справа в дискретной топологии процессы будут обязательно ступенчатыми. Они образуют более узкий класс, чем ступенчатые процессы. Их мы и будем называть скачкообразными. В силу теоремы 2 § 1 скачкообразный процесс является строго марковским.
Рассмотрим марковские моменты т* — моменты k-то скачка процесса *3(^, со). Они определяются рекуррентно следующим образом. Tj — это момент выхода из начального состояния, он уже определен выше. В силу строгой марковости определена величина Xs(ть со) . Из скачкообразности процесса вытекает существование такого интервала (ti,ti-{-S), что *s(^, со) — Xs(ti, со) при ^e(ti,Ti + 6). Пусть Тг = sup [t\ xs(u, ш) = xs(ti, со), ti ag; и <. t\. Легко проверить, что тг — также s-марковский момент. Очевидно, Tj < т2. Если определен момент %ъ.-\, то тh определяется так:
tk — sup [tf: xs(u, (a) = xs(xk-u со), т*_,<«<*].
Может оказаться, что при некотором k т* = + оо. Тогда т, при
400
СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VII
j>k не определены. Не определено также и (т^, со). Чтобы построить процесс (его выборочные функции) на интервале [s, sup та], достаточно знать последовательности пар к
{(ть xs{xh, со)), k = 1,2, ...}.
Теорема 2. Последовательность {та, xs{xh, to)}, k = 1, 2, образует, вообще говоря, обрывающуюся однородную цепь Маркова в фазовом пространстве ([0, оо)Х^, 9t X S3), где 21 — о-ал-гебра борелевских множеств на [0, оо), с вероятностью перехода за один шаг, определяемой из соотношения
Р (^т Xs (Хт, Сй) В | Хт _ j, Xs (Xт— j, Сй)) =
= Ри.х^х < t, Xu{Xi, со) Ей) Utm_p , t>S, В sSB. (б)
x~xs \хт-v °>)
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно показать, что правая часть (5) совпадает с
Ps, jc ({^m A, Xs (xm, Сй) ? В} |
Но в силу скачкообразности процесса имеем
{tm xs ('•¦mi Сй) В} = [J [J [ "f] { xs (j^m— I ~Ь Tirf > —
n T +— <t i“i m-i+ n < 1
==: Xs {xm—i, co) ^ J f| | Xs ^Xm—) -)- 2ti > со) s В \ {xs (xm-u C0)}j.
Для всякой 3* -измеримой ограниченной величины \ в силу
соотношения (18) § 1 можем записать
k-i
М®, х\ J_ ^ { Xs (j^m~ I 2n ’ ^0 == Xs (^m” 1 ’ X
i ^ < * “1 хт-1+-п<1
X X | xs ^Xm — i -)- gri i co) \ {-^s {xm— i, co)} j- =
k-l
= Ms, xs (tm_, (to)) Yj nz{\-,(vi+^. ®) =
хт-1+ф: <t
— Л4{т„,-1, со} | X | (Tm-1 + ~yn> со) e В \ {xs (xm-it C0)}j . (6)
§ 2] ОБЩИЕ СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 401
Переходя к пределу при п—>оо слева, получим
^ Xs (хт, Со) 0= В).
Заметим теперь, что
k-i
? Пх{*«(ы + ^г, ш) = *}х
п~*°° k , <=]
“V
хф»(« + |-. ш) ей\{х)} =
~ Ми, х% {Ti <t, ха{хи со) <= В] = Рц, * {tj <t, ха{хи и)е=В}. Таким образом,



