Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
и в момент T попадает в отрезок [ck, dk\, где
Ck = с + (k + 1) (fli — Q/).
, , > при нечетном k,
dk=d + (k+ 1 )(ai — aj) )
ck = 2at — d + k (at — a^, )
, , , , . > при четном k.
dk = 2а{ — с + k [at — a,) )
Наоборот, если wh+i(t) удовлетворяет перечисленным условиям, то тогда происходит событие 21*° U 2I(/+i. Так как Wh+i(t)—непрерывный процесс, обращающийся в нуль при t = 0, то для
того, чтобы попасть в промежуток [сь, dh], wh+i(t) должен последовательно пересечь уровни а» + /(а*— aj), I = 0, ..., k.
Поэтому
Р и яй-,} = р {wk+l (Т) €= [ck, dk]} = Р {ш (Т) е= [сй, 4]}.
Из непрерывности процесса w(t) вытекает, что с вероятностью 1 он пересекает отрезок [аь а2] конечное число раз, и, следовательно, Р {2li°} -> 0 при k->oo. Переходя к пределу при п-> оо
354
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
[ГЛ. VI
в соотношении
р да+р да=(- i)n+i [р да.}+р wu ]+
+ Z (—i)fc(P К>} + P ДО} + p №!1,} + p {s$i,}),
k = 0
получим
P + Р = Z (-1)* Z (P {Stf} + P №+1} ) =
/г = 0 i-i
со r‘2fli —с+2й(а-—aO
VST I I S exp(-4)* +
k= ) *-2ai~d+2k (a->—a\)
2a'!-c+2k(a2-ai) d-2 (ft+I) (a2--ai)
+ ^ exp | — | dx — ^ exp | — j dx —
2a2-d+2k(a2-at) c—2 (?+1) (a2-ai)
d+2(ft + l)(as-a,)
S exp{-^-}dJ.
H)(a2-ai) -*
c+2(k+\)(
Поэтому искомая вероятность равна
со j-d+2k(a2-a,)
Z \ exp{--|r}^-
V2 лТ
k=-oo '-c+2k(ai-ai)
2a2-c+2k(ai—ai)
4K\U2 — Ul) -J
\ exp{--^r}dx .
9 b M«—n,\ -J
2ai—d+‘2k (ai—a,\
Полагая в первом интеграле под знаком суммы х —
— 2k(a2 — ai) = u, а во втором 2k(a2— ai) + 2a2 — х — и, получим формулу (12). ¦
Следствие \. Совместное распределение величин шах ш(()
min w (t) при Я] < 0, а2> 0 дается формулой
0<(<Г
Р{ min w(t)>au max w(t)<a2} =
о0<(<Г
V 2атГ
k = —oo CIl
— exp | — (x — 2a2 + 2k (a2 — ax)f } ] dx. ¦ (13)
СТРОЕНИЕ ОБЩИХ ПРОЦЕССОВ
355
Следствие 2. При а > 0, [с, d] сг [— а, а]
Р { max | w (/) | < a, w (Т) е [с, d]} =
0<t<T
d оо
= V^F$ 2 (—l)fe exp{ — -^(*-2?а)2}^. (14)
С ft — — oo
§ 4. Строение общих процессов с независимыми приращениями
Пусть ?(/) — сепарабельный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями, определенный при t е [О, Т] и принимающий значения из конечномерного евклидова пространства X. Тогда он на основании § 4 гл. IV с вероятностью 1 не имеет разрывов второго рода.
Для каждого 8>0 с вероятностью 1 будет лишь конечное число таких точек t, для которых |?(/ + 0)— l(i — 0) | > е.
Пусть Хг — {х\ |я|>е}, Эе — а-алгебра борелевских множеств, целиком лежащих в Хе. Из сказанного выше вытекает, что для всякого Ле0ечисло точек t из [0, Г], для которых |(/ + 0) — l(t — 0)еЛ, с вероятностью 1 конечно. Обозначим через v(t, A) число точек s е [0, 0, для которых ?(s + 0)—
— |(s — 0)е^. Процесс v(t, А) имеет независимые приращения, поскольку \{h,A) — v(tu А) при t\ < t2 полностью определяются приращениями g(s)—?(М ПРИ s ^ [^ь ^г], и, значит, приращения \(t,A) на непересекающихся интервалах выражаются через приращения |(/) на непересекающихся интервалах. Кроме того, v(t,A) будет стохастически непрерывным процессом (если бы при t' — / ->0 величина \(t',A) — v(t,A) не стремилась к нулю по вероятности, то тогда бы и Р{||(/')—?(/) | > е}у^-О, а это невозможно ввиду стохастической непрерывности !(/)).
Поскольку v(/, А)—стохастически непрерывный скачкообразный процесс, все скачки которого равны 1 (и, следовательно, v(t,A) есть число скачков этого процесса на отрезке [0, /]), то в силу следствия из теоремы 1 §2 v(t,A) имеет пуассоновское распределение.
Положим П(*, А) = Ux{t, А). Тогда функция множества П(^,Л) (при фиксированном t) является мерой на S9e.
оо
Действительно, если А=\] Ак и Ак попарно не Пересе-
