Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
win)(i)
^1, и e„4==l, если sup -------------—> 1. Заметим, что величины
!<k-1 a
(_1)еп4ШпА ПрИ k — it 2, ... независимы между собой и одинаково распределены, причем распределения их совпадают с распределениями величин wnh. Это вытекает из того, что wnn и —wnh одинаково распределены, а wnh не зависит от гпи> • • • ... , Wnh-i- Следовательно, wnk(— \fnk имеют нормальное рас* пределение со средним 0 и дисперсией 1/л. Поэтому конечномерные распределения процессов w№(t) и w\n) (t) совпадают. Доказательство леммы получается, если заметить, что w(n) (t) -> w (t), w\n) (t) -> wi (0 с вероятностью 1 ввиду непрерывности процесса броуновского движения.
Используем доказанную лемму для нахождения распределения таких характеристик процесса, как шах w(t), min w(t),
о
шах | w {t) |.
0<<<Г
Теорема 2. При а> 0 Р { шах w (t) > a, w (Т) е [с, d]} =*
dYa х2 (2a-c)Va х,
- VW \ чк ,v e~Wdx- <9>
с У а (2a-d)Va
где а V b = mах [а, Ь].
Доказательство. Воспользуемся соотношением
Р { шах w (/) > a, w (Г) е [с, d]} = Р {w (Т) е [с, d\ f| (a, оо)} -f
0<*<Г
+ P { шах w (t) > a, w {T) e \c, d] f) (— a]}
0<<<Г
(справедливость его вытекает из того, что событие {ш(7’)е е [с, d] П (а, оо)} влечет событие! шах w(t)>a}). Найдем те-
а<<<Г
перь вероятность
Р { шах w (/) > a, w (Г) е [с, d] П (— оо, а]}.
0<<<Г
352 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI
Пусть W\ (f) — процесс, определенный так, как в лемме 2. Тогда событие { max w(t)> a, w(T)^.[c, d] П (— °°, а]} совпадает
с событием { max W\ (Т) е [2а — d, 2а — с] П [а, оо)}.
0<<<Г
Но событие [wi (Т) е [2а — d, 2а — с] П [а, оо)} влечет событие
{ max wl(t)'^a), поэтому Q<t<T
{max wx (t) ^ a, wy (Т) е [2а — d, 2а — с] П [а, оо)} =
0</<Г
= {twj(Г)е= [2а — d,2a — c]{] [а, оо)^ Значит, на основании леммы 2
Р { max w (t) > a, w (Т) е [с, d] f| (— оо, а]} =
0</<Г
{2а—с) V а хг
S e~Wdx- <10>
(2 a-d)Va
Кроме того,
а v а
Р {©(Г) <= [с, d] П [а, оо)}= ^ 1_ е 2Т dx. (11)
cVa Л
Из (10) и (11) и вытекает доказательство теоремы. Щ Следствие. При а > 0
ОО 2
P{max w(t) > а) = Д—-¦ \ е 2Т dx.
\><«r V2яГ J
а
Последняя формула вытекает из теоремы 2, если [c,d\ — = (— оо, оо).
Теорема 3. Пусть ах < 0 < а2 и [с, d] cz [аь а2]. Тогда Р { min w(t)>au max w(t) < a2, zv(T) e [c, d]} =
0<<<Г 0</<Г
OO ^
Yj \Ы-^(х + 2На2-а1))2}~
k=* — oo С
— exp | —~~r(x — 2a2 + 2k(a2 — ax)f } ]dx. (12)
Доказательство. Обозначим через 2li!> событие, заключающееся в том, что процесс w(t) на отрезке [О, Г] пересечет уровень а,- раньше, чем уровень а,- (/ Ф i, i, j = 1, 2), и затем не менее k раз пресечет отрезок [ai, а2\ (считается, что функция x(t) k раз пересекает отрезок [йь а2], если функция sgn(x(/)— ai)-H sgn(;c (/)— a2) k раз меняет знак), и w(T)^.[c, d]. Искомая
л/2пТ
НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС
353
вероятность может быть выражена следующим образом:
Р {W (Т) €= [с, d]} - Р {ЯП - Р W2)}.
Для подсчета Р {Яо’} найдем вероятности
Р {Як0} + Р {ЯЙ,} = Р U ^й-.} (i ф j, i, i = 1, 2).
Событие как легко видеть, заключается в том, что
процесс w(t) до момента Т пересечет уровень а* (не обязательно раньше, чем а5-), затем не менее k раз пересечет отрезок [аь а2] и при t — Т попадет в отрезок [с, d]. Пусть Ti — момент первого пересечения уровня а,-, т2— первый после Ti момент пересечения а.}, т3— первый после т2 момент пересечения а* и т. д. Положим wi(t)=w(t) при t< tj, wi(t) = 2w(xi)—w(t) при t ^ Tl,
w2{t)=wi(t) при t < T2, оу2(0 — 2йу(т2)—m>i(0 при t ^ T2,
w<i(t)=w2(t) при / < т3, ie>3(f) = 2ш2(т3)— ш2(0 при t ^ т3 и
т. д. Заметим, что процессы Wi(t) будут процессами броуновского движения, так как xt является моментом первого пересечения процессом Wi-i(t) уровня
ог + (/— 1 ){ai — aj).
Если происходит событие Я*1* (J 21*+р то процесс и>*+1 (t) при t < Т поочередно пересекает уровни
at, at + (at — aj), ..., at + k (at — ay)
