Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью этой формулы можно определить распределение 1(h)— ?(^i)> а значит, и все конечномерные распределения процесса l(t).
Поскольку стохастически эквивалентные процессы имеют одинаковые конечномерные распределения и всякому процессу соответствует стохастически эквивалентный сепарабельный процесс (теорема 2 § 2 гл. IV), то справедлива следующая
Теорема 4. Характеристическая функция стохастически непрерывного процесса с независимыми приращениями имеет вид (10), где
1) функция П(^,Л) — непрерывная, монотонно не убывает по t при каждом А е U 23е и удовлетворяет условию
е
lim [ | х |2П(^, dx) < оо;
е->0 . J .
СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
369
2) a(t) — непрерывная функция, принимающая значения из X;
3) функция B(t)— непрерывная и ее значениями служат неотрицательные симметрические линейные операторы в X, причем B{t2) — B(t\) также неотрицательны при t\ < t2.
§ 5. Свойства выборочных функций
В этом параграфе изучаются некоторые свойства выборочных функций стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями. Заметим, что в § 2 найдены необходимые и достаточные условия, при которых выборочные функции процесса являются ступенчатыми, а в § 3 — непрерывными.
Пусть теперь ?(/)— процесс с числовыми значениями, т. е. X является числовой прямой. Исследуем условия, при которых реализации процесса ?(/) будут с вероятностью 1 монотонными функциями.
Теорема 1. Для того чтобы реализации числового сепарабельного стохастически непрерывного процесса %(t) с независимыми приращениями были с вероятностью 1 неубывающими, необходимо и достаточно, чтобы характеристическая функция величины ?(/) представлялась следующей формулой:
Ме1'^ W = Ме‘Я5 (0) ехр |г'А,у (t) + ^ (е1Кх — 1) Г1 (/, rfx) j ,
(1)
i
в которой мера II удовлетворяет условию ^ xll (/, dx) < оо, а
о
y(t) является неубывающей функцией.
Доказательство. Необходимость. Если ?(/*)— неубывающая функция, то процесс ?(/) имеет лишь положительные скачки, значит, П(/, А) — 0 для всякого множества А, лежащего на отрицательной полупрямой. Заметим, далее, что в рассматриваемом случае процесс ?(/)— ?(/, Хе) также будет неубывающим (выбрасывание скачков не нарушает монотонности). Монотонным процессом будет и процесс |(/, Хе) — ?(/, Х{), 0 < е < 1, являющийся суммой неотрицательных скачков, причем
о < I (t, Xt) - ? (t, Хг) < I (0 - I (0) - ? (t, Xi).
На основании леммы 1 § 4 М [?(0 — ? (0) — ? (/, Zj)] < оо, поэтому
М
[? (t, ХЕ) - ? (/, *,)] = J *П {t, dx) < М [? {t) - ? (0) - ? (t, *,)];
370
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
[ГЛ, V!
переходя к пределу при е->0, убеждаемся в конечности
1
^ xU (t, dx).
о
Заметим, далее, что величины ?(/)—убывают при ?-*-0 (так как с уменьшением е выбрасываются новые положительные скачки). Следовательно, с вероятностью 1 существует
предел lim [?(/) — g (t, .Xe)]=?oW> причем процесс |0(0 с вероят-е-»о
ностью 1 непрерывен. Как было доказано в § 3, приращения процесса g0(0 будут иметь гауссовы распределения. Но процесс |о(0> как предел неубывающих процессов, сам будет неубывающим, так что P{go(0—io(0)^sO}= 1. Из последнего соотношения вытекает, что D (?0 (t) — go (0)) = 0 (нормально распределенная величина g может быть с вероятностью 1 неотрицательной лишь в том случае, когда Dg = 0). Таким образом,
!о(0 =ьо(0) + y(t), где Y(0 = M[|0(0-go (0)],
н следовательно, не убывает. Формула (1) может быть получена из соотношения
Меа? (<) = lim MeU|° (,)Мещ ('•
е-»0
если учесть вид процесса g0 (0 и формулу (8) § 4. Необходимость условий теоремы установлена.
Достаточность. Покажем, что P{g(^)—g(^i)3s;0}=l. Для этого достаточно показать, что с вероятностью 1 неотрицательна случайная величина g, характеристическая функция которой имеет вид
Ме,;^ = ехр “jj (еах — 1) dG (л:)|, (2)
где G(x)—монотонная ограниченная функция.
Это вытекает из того, что распределение величины g(^2)— —g(/i) является пределом распределений величин с характеристической функцией
exp|a(v(/2) — у (*i)) + j (ед* — 1) П(/, dx)|
при е | 0. Положим
F(x) = c[G(x)-G(+ 0)], c = [G(+oo)-G(+0)]
-i
СВОЙСТВА выборочных ФУНКЦИЙ
371
Т°гда
eiKx dF (я) ^ ,
так что характеристическая функция величины | совпадает с характеристической функцией величины Sv, где So = 0, Sn = = |i + • • • +lnj Еь I2. • ¦ • — последовательность независимых одинаково распределенных неотрицательных величин, имеющих функцию распределения F(x), a v — не зависящая or gj, ?2, ¦¦¦ пуассоновская случайная величина. Следовательно, g неотрицательна.
Таким образом,
Р (Q > I (ti)} = 1 при t, < 4.
