Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому
§ 2] СКАЧКООБРАЗНЫЙ ПРОЦЕСС 343
Воспользуемся теперь тем обстоятельством, что преобразование Лапласа свертки двух функций есть произведение преобразований Лапласа, и равенством
( °° п °° ) Г°
expi \e~'lxdq{k, х),
\n-1 0 ) О
которое вытекает из (14); находим
[со ^ °° j
п(к, у, х) = кехр
1/1-1 О J
X t1 — Ф(х — Z — и + у)] dViiu) dq (к, z). (22)
Пусть q_{k, х) определяется равенством
I СО О |
S 0., *) = •iexp 5(e'“-l)«№.W|.(23)
l Л“=1 —oo J
Легко убедиться, рассматривая процесс — | (t), что
оо
Q_ (Я, х) — ^ е~иР {inf ? (s) < х} dt. (24)
о
Функция q_ (Я, х) выражается через vt(x) в силу (11) следующим образом:
( о j
<7_ (*, х) = 1 ехр j - ? 1 )" J <*Ф„ (*) j 0l (х).
I n=l —OO J
Подставляя выражение v{(x) через q_(k, x) в (22) и воспользовавшись равенством
ехр[Ё1(7Тх)"|-н,р{-|п(| -ттт)}“
_______1________ а + Я
4 d 7^/
a -f- Я
находим окончательно
п (к, у, х) — ка ^ [1 — Ф {х + у — и — г)] dq_ (Я, г) dq (к, и). (25)
Используя еще раз то обстоятельство, что произведение Преобразований Лапласа есть преобразование Лапласа свертки,
344
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
[ГЛ. VI
можем обратить (25). При этом заметим, что
оо
Я<7_ (Я, z) = — ^ Q_ (/, х) de~u =
о
ОО ОО
— Q_ (0, х) + ^ Q_ (/, х) е~м dt — e (х) + ^ e~MdtQ_ (/, х),
о о
где
Q_ (t, х) — Р {inf g (s) < х}.
s<^t
Поэтому ^Xq_(X, z — u)dq(X, и) является преобразованием Лап-
t
ласа функции Q(t, 2)+ J ^Q_(* — s, z — u)dudsQ(s, и). Значит,
О
N(t, у, х) = а ^ [1 — Ф(х + у — 2)] dzQ(t, z) +
t
+ а ^ [1 — Ф (х + у — 2)] dz ^ Q_ (/ — s, 2 — и) dudsQ (s, и). (26)
о
§ 3. Непрерывные процессы. Винеровский процесс
В этом параграфе рассматривается непрерывный процесс с независимыми приращениями |(t), определенный на некотором отрезке [О, Г] и принимающий значения из 52™. Будет доказано, что в этом случае приращения процесса имеют гауссовы распределения. Будем обозначать через S+{91т) множество линейных неотрицательных симметричных операторов в 52™.
Теорема 1. Существуют такие непрерывные функции a(t) и B(t) со значениями в 52т и j?+(52m) соответственно, при этом B(i) не убывает (B(t2)— В (ti) е j?+(52™) при что ха-
рактеристическая функция приращения ?(/2)— ?(^i) '(^<^2) имеет вид
М ехр {г (z, l(t2) — ?(Щ =
= ехр|/(z, a(tj — aiti))— у([В(/2) — B{t{)\z, 2)}. (1)
Доказательство. Для того чтобы установить (1), достаточно показать, что \(t2)—?(М имеет нормальное распределение. При этом можно предполагать, что ?(0) = 0, t\ = 0 и процесс принимает значения в (вместо процесса ?(0 можно рассматривать процесс (?(0>г))- Возьмем последовательность разбиений 0 = = tn о< ... <tnn = t такую, что шах (tnk — tnk-i) -> 0. Из не-
ь
§ 3] непрерывные ПРОЦЕССЫ. ВИНЕРОВСКИИ ПРОЦЕСС ' 345
прерывности процесса вытекает, что для всех е > О
П
lim ЕР{||(Ы-1(^*-1)1>е} = 0 (2)
П-> оо 1
(см. теорему 4, гл. IV, § 5). Из (2) вытекает существование такой последовательности е„ | 0, что
lim ZP{|i(^)-l(^fc-i)l>en}=0. (3)
Л->ОО k—\
Положим
_ ( | (*„*)“ если ||(Ы — l(tnk-i)\<en,
0, если ||(Ы — l(tnk-i)\>Bn-
Тогда Р Eg„fe}^ ^ P{li(*»fc) — 1(^л-01>еп}]и,зна-
tl
ЧИТ, Zink сходится по вероятности К ?(0-ft~l
Из центральной предельной теоремы для схемы серий вытекает, что
(Su-mEiJ/d Su
\*-I А-1 УI к-\
имеет предельное невырожденное нормальное распределение,
п
если только jimD Zg„*.>0. Но тогда и величина
П -> со 1
(i(0-M lLfe)/D tu
\ fe=l /I fe-1
