Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
О < s < t
= P {tt > t) -f P {t, ri! < x, sup gl (s) < л: — n—
0<S <t-Xi
t X
= e~at + \ \ P{x{ <=du, ti, z=dy) P { sup g, (s) < x — y) =
J J 0<s<t-u
О —оо
t X
= e~at -f ^ e~audu ^ dQ{y)Q{t — u, x — y).
0 •— oo
При x^.0 Q(i, x) = 0. Поэтому, полагая
oo
^ e~MQ(i, x)dt — q{%, x),
0
получим
я (л. *)=J ч ^>x — dф (У)
(q{%, x) = 0 для x <0). Соотношение (5) выполняется для всех х > 0. Значит, полагая е{х) = 1 при х > 0, е(х) = 0 при х 0, (5) можно переписать в виде
= е (х) J q (Я, х - у) d[e (у) - Ф (г/)]. (6)
Покажем, как можно решить уравнение
g (х) = е (х) J q (х — у) d [е (у) — -~j- Ф (г/)], (7)
q{x) = 0, xs^O,
где g(x) — некоторая ограниченная функция, g(x) = 0 при х sg; 0. Пусть —некоторая функция ограниченной вариации, для которой У] (t) = V\ (0) при t > 0. Из (7) находим
^ dvl(t) =
= {j е (х - f) jj q (х — t - у) d [е (у) — Ф (у)] dvx (f).
Если х > 0, то в выражении справа под знаком интеграла можно е(х — t) заменить на е(х), так как интегрирование
§ 2] СКАЧКООБРАЗНЫЙ процесс 337
ведется на самом деле лишь по отрицательным t. Поэтому —0 dvi(t) =
= е(дс) q(x — t — y)d\b {у) — Ф (г/)] dvt (t) =
= e{x)^q(x — y)dv2 (у),
где функция ограниченной вариации v2(y) определяется из соотношения
v2(y) = \vl(y — t)d[s(t) — Ф(0]. (8)
Пусть теперь v2 (у) таково, что v2(y) — 0 при у sc: 0. Тогда е (*) J q {х — г/) dy2 (г/) = jj ^ (* — г/) (у),
так как при л: sc: 0
со
5 ц(х — г/) («/) = 5 <t(x — y) dv2(y) = 0.
о
Значит, в том случае, когда существуют функции Vi(x) и v2\x)
с указанными свойствами, из (7) получаем следующее соотно-
шение:
е (х) jj g (х — у) dvi (y) = ^q(x — у) dv2 (у). (9)
Последнее уравнение относительно q является уравнением типа свертки и может быть решено с помощью преобразования Фурье. Предложенный здесь метод решения уравнения (7) (такие уравнения называются уравнениями типа свертки на полуоси) принадлежит Н. Винеру.
Покажем, как найти функции Vi{x) и v2{x) с требуемыми свойствами. Обозначим
vk (z) — ^ eizKdvu (х), ф (г) = ^ е1гх dQ? (х).
Применяя к (8) преобразование Фурье, получим
S2(z) = 0i(z)[l — -^ГГф(г)]- (10)
Но
1 -7^ТФ(г) = ехр{1п(1 --^ГГф(2))} =
338
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
[ГЛ. VI
Имеем ф" (z) — ^ е1гх йФп {х), где Ф„ (х) — функция распределения Г), + ... +Г)„.
Пусть
0! (z) = ехр
Г оо +0
eizxd Ф„ (х) [,
S2(z) = expj-f;i(lr^T)'1 J еи
(. П=1
: ЛФп (х)
)
+0
(11)
(12)
Соотношение (10) в этом случае выполнено. Пусть
оо
ЕКттх)’ф-«' *<»•
П-1
оо
1Ж7Тт)Ч<°>. *>0.
11-1x1 =
п = I
Тогда
»1 (г) = 1 + ^ 1Г [S еШ dH~ W] ^
k**\
р ОО “1
= 5 eizxd е(х) + ?-^Я(*>(х) ,
где Я<1> (х) = Я_ (х), Я(*> (х) — ^ Н^-1) (х — г/) dH_ {у). Очевидно, что функция
оо
и, (х) = е(х) Я<- 00
А-1
имеет ограниченную вариацию и и1(х) = и1(0) при х^О. Аналогично устанавливаем, что
где
) = J el2xd [е (х) + ? HW (J t
L ft-i -I
0, *<0,
oo
ЕЯттт)*|®"М-ф»т x>0’
П<= 1
Я«> (X) = Я+ (х), яда (x) = J Я<*-» (X - у) dH+ (у).
V2 (z):
H+ (x) =
§ 2] СКАЧКООБРАЗНЫЙ ПРОЦЕСС 339
Функция
оо
t>2 w=в м+Y, "г- я+ м
k=l
также имеет ограниченную вариацию и v2(x) — 0 при л: <=: 0.
Перейдем к определению функции q(k,x). Из (6), (7) и (9) вытекает соотношение
еМ S в'а~+7/)'dVl ^ = S qx~l^dv2(y)- (13)
Поскольку при л: > 0 левая часть совпадает с то (13)
эквивалентно равенству
~~(а+\(~~ = [q(x’ х~ У) dv2 (У)-Переходя к преобразованию Фурье, находим J±^ = v2{z)\elzxdq{%, х).
Учитывая, что Hi (0) = Vy (+ 00) = Si (0),
! = Jl (i-----i—'j =
<x -f- % X \ А“ЬЛ/
