Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ш Bk) представляет собой сумму v(t, Bk) скачков, принадлежащих Bh и, значит, отличающихся от xh не более чем на б). Отсюда и вытекает (5).
366 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI
Так как
М
М
то
lit, A)-Zxkv(t,Bk) ^6Mv(t,A),
k
I (t, A)-Z xkv (t, Bk) f < 62M [v (t, A)]2,
ii |
(t, A) — lim M У xkv (t, Bi{) — f л:П (t, dx),
6¦** Г A
D(?(<,>!), 2)= \ {z,xfn{t,dx)
для всякого ограниченного множества А, лежащего на положительном расстоянии от точки нуль пространства X.
Рассмотрим, далее, случайную функцию множества
v(t, Л) = v (/, Л) — П (t, А).
Эта функция обладает следующими свойствами:
М v (t, А) = О,
М (v {t, A) v (t, В)) = Mv (t, А П В) = П (t, А П В). (6)
Равенства (6) позволяют использовать общую конструкцию стохастического интеграла по ортогональной мере для построения интеграла
J f(x)v(t,dx) для всех измеримых функций f{x), для которых Jl/WPnft dx)<co (см. гл. V, § 3). В предыдущем параграфе было установлено,
оо
что ? D ({¦(<, ДД г) < оо. Так как fc=*2
D(l(t, ДД z) = (х, zf П(t, dx),
ТО при любом 2G1
lim ^ (х, г)2П(^, dx) < оо.
8 < I х I < е,
Следовательно, и
lim ( | х |2П(^, dx) < оо.
fi-*0 . J.
е < I х I < е,
§ 4] СТРОЕНИЕ ОБЩИХ ПРОЦЕССОВ 367
Поэтому существует
^ xv (t, dx).
0 < I л: I < Е:
Заметим, далее, что
П
Yj & У’ ^к)) = \ ХV (*> dX)>
й=2 e(I + 1<iv|<e,
ОО
и, значит, ряд X) (| {t, ДА) — Mg (t, Дй)) сходится по вероятности к J xv (t, dx). Принимая во внимание равенство
О < | лг I < е,
S(*>Ai)= \ xv{t,dx),
I х j > е,
получаем из теоремы 2 и замечания к ней следующий результат (для определенности положим t’j = 1).
Теорема 3. Если %{t) — сепарабельный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями, то существует с вероятностью 1 непрерывный с независимыми гауссовыми приращениями процесс go(0- не зависящий от меры v(t,A), такой, что имеет место следуюи^ее представление:
I (0 = So (0 + 5 dx>> + \ ^ dx)- w
1 I > ! I * К 1
Найдем характеристическую функцию процесса l(t). Так как слагаемые в правой части (7) независимы между собой, достаточно найти характеристическую функцию каждого слагаемого. Характеристическая функция процесса go(t) определяется формулой (1) § 3. Пусть А — ограниченное множество из S9e. Тогда
М ехр {i {г, l(t, Л))}==ИшМехр (z, ? xkv{t, В*))},
П
где Л— U Bk, Вк — попарно непересекающиеся множества,
А-1
диаметры которых не превосходят X, точки xh принадлежат Bh. Величины v(t,Bh) независимы между собой и имеют пуассонов-ские распределения с параметрами П(^, Вк) соответственно. Поэтому
П
М ехр (z, Z xkv (t, = П М ехр {/ (z, xk) v (t, Bk)} =
=11 exp {(e1 Xk) — 1) П(t, Bk)} = exp ((e (г’— l) П(/, B*)|. *¦»! U-I )
368 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI
Переходя в последнем соотношении к пределу при Я —*¦ 0, убеждаемся, что
М ехр {г (г, | (t, Л))} = ехр jlj 1)П(*. dx) (8)
Формула (8) имеет место и для неограниченных множеств из S9E, так как такие множества можно представить как суммы монотонно возрастающей последовательности ограниченных множеств Ап, для которых (8) справедливо, и использовать предельный переход по п. Из (8) вытекает, что
М ехр {г (z, | (t, А) — М? (t, Л))} =
= ехр | ^ (е1 <г>х) — 1 — г (z, л:)) П (t, dx)^, (9)
т. е.
Мехр
|г ^ xv (t, dx) )^ j. exp | ^ (el{z' *> — 1 — i (z, л:)) П (t, dx)^.
Опять используя операцию предельного перехода по А, убеждаемся, что формула (9) справедлива для всех множеств А, для которых правая часть этого равенства имеет смысл. Теперь, учитывая формулы (1) § 3, (8) и (9), можем записать характеристическую функцию процесса l(t):
Мег <г' \ №) = Ме‘? <0)> ехр |г (a (t), z) — — (B (t) z, z) +
+ J (e1 (*•¦*)_ 1)П(t,dx)+ J (e<(z,*) — j — / (z, л:)) П (/, .
0 < | лг | > 1 0 < I jc I < I J
(10)
