Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
и слагаемые в правой части независимы на основании следствия 1 теоремы 1. Поэтому при любом х
т
A,),.t)<D(?ei(f), х),
оо
и, значит, при любом л; сходится ряд 2 D(|ft Дй), х). Выберем
.4 = 2
такую последовательность пи (п.\ = 2), чтобы
ос
Y D (|(Г, !\j), Xi) < при г = 1, 2, ..., г.
1~пь
Тогда последовательность
(4)
{
о<г<г
будет с вероятностью 1 равномерно сходиться к некоторому пределу при й->оо. Действительно,
nk+\
? [Е(/, Л,) — МЕ(/, Лу)] —
/=2
пк }
~^>ft A/) -Mg ft Л,)]
/= 2
nft+]
? (EftA^-M&ftA/),^-)
Ё (sC-^r ¦ д<)—(^?•д/)-
l = nk+i
>-w <
sup
0 < t < T
sC
;Ep{
i = l V.
V lim P < sup
““j m->oo
Vr &2 J
k2 J
lim
/П-> oo
4 + 1
Г'-Пь + I
/г2
(здесь использовалось неравенство Колмогорова, гл. Ill, § 1, замечание к теореме 5).
364
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
[ГЛ. VI
ЕТ'2
-р- сходится, то по теореме Бореля — Кан-
k-i
телли члены ряда
°° nk+\ к—l I = «*+1
с вероятностью 1, начиная с некоторого номера, мажорируются
ОО
членами сходящегося ряда ^ -j-r. Отсюда и вытекает равно-
k=l
мерная с вероятностью 1 сходимость последовательности (4). Поэтому существует процесс lo(t), являющийся равномерным пределом последовательности
д,)].
Так как l(t, Aj)— стохастически непрерывный процесс и М||(^, Aj) |2 ^ М|^(Г, Д3-) |2 <; оо, то на основании теоремы о предельном переходе под знаком интеграла
lim Mg(*, Д;) = M|(s, А/)
t~>S
и, значит, Mg(^Aj) непрерывно по t. Следовательно, процесс
ge. (О-?[&(*, А/)-М|(/, д;.)]
/ = 2
с вероятностью 1 не имеет скачков, по абсолютной величине превосходящих ertfe, a lo(t) (равномерный предел таких процессов) с вероятностью 1 непрерывен. Заметим, что ряд
оо
?[&(*, Д/)]
1=2
сходится по теореме Колмогорова (гл. III, § 2, следствие 2
оо
теоремы 1) ввиду сходимости ряда X D (I (t, А,), х) при каждом х.
1 = 2
оо
Сумма ряда 2 [I (^> А/) — M|(f, Д/)] при каждом t совпадает
°° "fe+l
(mod Р) с суммой ряда 2 2 Ш(^> А/) — MS, Д/)]. Таким
образом, справедлива
§ 4] СТРОЕНИЕ ОБЩИХ ПРОЦЕССОВ 365
Теорема 2. Для всякого сепарабельного стохастически непрерывного процесса с независимыми приращениями существует такой непрерывный процесс g0 (0> что
оо
I (0 = So (0 +1 (t, л,) + X [I а, А,) - М| (f, А/)].
1 = 2
Замечание. Процесс |о(0> как предел процессов 5е, (0 ~~
п
we зависит от каждого из процессов l(t, Aj), j — 1, 2, ..., я. Так как
оо
So (о + X (1 (<, А/) - Mg <г а,))=ge (о
/=2
Ы М | |е (О « М|Ы0
2<оо, а слагаемые в правой части независимы, то
2 <С оо.
Рассмотрим стохастические интегралы по мере v(t,A). Как уже отмечалось, v(t,A) является счетно аддитивной неотрицательной функцией множества А на 39е. Пусть измеримая функция tp(x) ограничена на каждом компакте пространства X и равна нулю при ]л:] <С е (е — некоторое неотрицательное число).
Можно обычным образом определить интеграл ^ <p(a:)v (t, dx).
Это вытекает из конечности меры \-(t,A) на ЭЕ, а также из того, что v(t, Хр) = 0, где Хр — множество тех х, для которых \х\> р, а
р= max [g(s + 0)~ l(s — 0)|,
0<s<<
так что на самом деле рассматривается интеграл лишь по множеству {е <С\х\р}, на котором и функция <р(х) ограничена. Покажем, что
I (t, А)= ^ хх (t, dx). (б)
А
ОО
Действительно, если А= [] Bk, где Bk — попарно непересе-
А-1
кающиеся множества, диаметры которых не превосходят б, а xk е Bh, то
11 (t, А) — X xkv (t, Bk) < X 11 (U Bk) — xkv ((, Bk) \ <
I k к
<6Lv(t,BkXto(t, A)
k
