Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Винеровский процесс называется также процессом броуновского движения. Это название объясняется следующим обстоятельством. Рассмотрим движение достаточно малой частицы, взвешенной в жидкости, под влиянием соударений с находящи-
НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС
349
мися в хаотическом тепловом движении молекулами жидкости. В физике это явление носит название «броуновского движения».
При вероятностном изучении этого явления естественно считать скорости молекул, с которыми соударяется частица, случайными, причем для однородной жидкости нужно считать, что распределение скорости не зависит от положения молекулы (оно может зависеть лишь от температуры, а она всюду одинакова). Если предположить, далее, что скорости различных молекул независимы между собой, пренебречь инерцией частицы, то тогда смещение частицы из любого положения за некоторый промежуток времени не будет зависеть от положения частицы и ее предыдущего движения. Следовательно, процесс l(t) в 5?3, описывающий положение частицы в момент времени t, будет процессом с независимыми приращениями. Кроме того, из физических соображений очевидно, что он будет непрерывным и однородным по времени, если физическое состояние жидкости не меняется со временем. Но всякий непрерывный однородный процесс с независимыми приращениями будет гауссовым. Будем считать, что в начальный момент времени положение частицы совпадало с началом координат, т. е. g (0) = 0. Пусть М|(0 = = a(t), D (?,(t),z) = (Bz,z), a(t) — вектор из 5?3, В — симметричный оператор в 5?3. В случае однородной жидкости при отсутствии течений процесс должен быть изотропным (поскольку распределение проекций скорости молекулы жидкости на произвольное направление не зависит от этого направления), т. е. (а, г) и (Bz,z) при |z|= 1 не должны зависеть от г. Это возможно в том случае, когда (a, z) = 0, (Bz, z) = c(z, z). Так, используя самые общие соображения, мы пришли к определенному выше процессу броуновского движения, рассматривая физическое явление, носящее то же название.
Изучим подробнее одномерный винеровский процесс.
Пусть а ф 0 — некоторое число. Обозначим через та такой момент времени, что a>(tf)/a^l при t т0, а при любом
6>0 sup — > 1. Если w(t)/a^ 1 для всех t, то пола-
ta<*<ta+6 а
гаем та=+°°. та будем называть моментом первого пересечения процессом w(t) уровня а.
Пусть теперь т'—такой момент времени, что w(t)/a<C. 1 при t < т', w (т') = а. т' будем называть моментом первого достижения процессом w(t) уровня а. Очевидно, что Оказывается справедлива
Лемма 1. Р{т'=та} = 1.
Доказательство. Ввиду симметрии процесса w(t) (—w(t) имеет такие же распределения) считаем, что а > 0. Событие
350 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ, VI
{т'а < га} влечет хотя бы одно из событий
{ max ay(s) = a}, г— 1,2, ..., т— 1,2, ..., r<.mt.
Поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что при а > 0
Р{ max ay(s) = a} = 0,
0<s<<
каково бы ни было t\ легко видеть, что при t\ < t Р{ max w (s) = a} < P { max az>(s) = a} +
0<s<? 0<s<?,
a
+ \ P {w (t{) e dx) P { max w (s) — w (tx) = a — x}. J
— oo
Ho P{ max w(s)— w(t\) = z} может быть отлично от нуля не более чем для счетного числа различных z, т. е. Р{ max ®(s) —
— w(tl) = a — x} = 0 почти для всех (по мере Лебега) х. Значит,
а
\ Р {w ft) е dx} Р { max w (s) — toft) — a — x} —
J
— oo
& •> i f
= .---- \ P{ max w (s) — w ft) = ci — x} в 2t> dx = 0,
¦y/2nti J *i<s<?
— OO
так как подынтегральная функция равна нулю почти всюду. Таким образом,
Р{ max w (s) = а} ^ Р { max ®(s) = a}, т. e. P{ max w(s) = a} не убывает при /|0, и в то же время,
0<S<?
ввиду непрерывности w(t), Р { max w(s) > е} ->0 при е > 0, t-+ 0. Поэтому
Р{ max w(s) — а} ^ lim Р ( max w(s) > -|Л = 0. ¦
0<s<f f, *0 (. 0<s<f Z )
Эта лемма позволяет нам в дальнейшем не различать время первого достижения и время первого пересечения уровня а. Мы будем и то и другое обозначать та.
Для изучения некоторых характеристик процесса w(t) будет использоваться следующая
Лемма 2. Пусть w(t) — процесс броуновского движения, аф 0 и тй — момент первого пересечения процессом w(i)
§ 3] НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС 351
уровня а. Определим процесс w\ (t) соотношениями: W\(t) = = w (t) при t < та, wj (t) — 2a — w (t) при t ^ та. Тогда процесс W\ (t) также будет процессом броуновского движения.
Доказательство. Положим wnk — w (~д~) ’ w{n)(t) =
w{n) (1)
= Z tOnft, ш|п) (t)= ? (—где 8„fe = 0, если sup -------------—<
k^nt k^nt l^k — l
