Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
будет иметь предельное нормальное невырожденное распределе-' ние, что возможно лишь в том случае, когда ?(<) имеет нормальное распределение. Если же для некоторой последовательности пг
пг
lim D Z In.k -+ 0,
Г->со k — l
ТО
"г "г
Z inrk — м Z inrk -> о
л-i r fc=i г по вероятности, поэтому и
346
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
[ГЛ. VI
по вероятности, что возможно лишь в том случае, когда \{t) с вероятностью 1 постоянна. В
Если l(t) — однородный непрерывный процесс, то существуют аей™ и ЙЕ5,+ (Йт) такие, что функции a(t) и B(t), входящие в формулу (1), имеют вид
Однородный процесс w(i), для которого а = О, В =1 (/ — единичный оператор), называется винеровским процессом. Если В112 обозначает (неотрицательный) квадратный корень из неотрицательного оператора В, то процесс
где w(t) — винеровский процесс, будет однородным гауссовым процессом с независимыми приращениями, для которого
Через винеровский процесс можно выразить и процесс с характеристической функцией (1), если только функция B(t) дифференцируема. Для такого представления понадобятся стохастические интегралы по винеровскому процессу вида
где Z(t)— некоторая операторная (неслучайная) функция. Выберем в 52т некоторый ортонормированный базис {ei.....ет}.
Положим Wh (t) — (eft, w (t)). Так как
то процессы Wh(t) — независимые между собой одномерные ви-неровские процессы. Каждый из этих процессов является, очевидно, процессом с ортогональными приращениями: при t\ < .< k < t3
a(t)=ta, B(t) = tB.
l(t) = ta + Bmw (О,
M ехр {/ (z, I (t))} = exp {t(z, a) — -j- t (Bz, z) j .
T
^ Z (t) dw (t),
(4)
0
M exp | ^ (t) r = M exp f'(Z Kkek, w(t)
*• k=i ' ^ '4=1
M (wk (ts) — Wk (4)) (wk (к) — wk (/,)) =
= M (wk (t3) — wk {t2)) M (ay* (/2) — wk {ti)) = 0,
кроме того, M| wh(t2)—wh{t\) \2 = t2 —1\.
§ 3] НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Поэтому определены интегралы
т
^ f (s) dwk (s)
О
для всех f<^S?2 [О, Т] (см. гл. V, § 3).
Интеграл (4) определяется с помощью соотношения
Т m / m Т \
\z{t) = S z ^ б/’ dWl ^ гк'
о fe=l '•/-] о '
347
(5)
Этот интеграл определен для всех измеримых операторных функций Z(t), для которых
1
J Sp Z{t)Z* (t) dt <
(здесь Z* — оператор, сопряженный Z, Sp ZZ* — след оператора ZZ*).
Легко убедиться, используя (5) и независимость процессов Wj(t), что
т
М ^ Z {t) dw (t) = О,
о
/Г Т \ т
MnZj (/) dw (/), ^ Z2 (t) dw{t)\ — ^ SpZ! (t) Zl{t)dt,
'0 0 ' 0
ОТ \2 T
I Zi (/) dw (t), z j = J Zj (/) Z\(0 z, z) dt.
(6)
(7)
Кроме того, интеграл (5) имеет гауссово распределение (поскольку он является пределом интегралов от простых функций, которые линейно выражаются через приращения винеровского процесса и поэтому имеют гауссово распределение).
Пусть теперь С (t) = (jfi-B (/))’/2. Тогда процесс
I
|(0 = а(0+ J с (s) dw (s)
348 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI
будет гауссовским; в силу (6), (7)
М|(0 = а(0,
М (| (t) — а (t), z)2 = М С (s) dw (s), z
= (((iB (s))'/2 (i в z>z)ds -
o
t
= S (i B ^z)= *¦B^^ *¦B ^
0
Следовательно, приращение процесса l(t) имеет характеристическую функцию (1).
Заметим, что всегда можно указать строго возрастающую функцию K(t) такую, чтобы B(t) было абсолютно непрерывно относительно X(t). В качестве такой функции можно, например, взять X(t) — t + Sp [B(t) — B(0)]. Так как для неотрицательного оператора В выполнено неравенство || В || ^ Sp В, то при t\ -< t2
II В (и) - В ft) II < Sp [В ft) - В ft)] < Я (4) - X (t,). (8)
Если теперь ср(^)—функция, обратная к А,(0: А,(ф(0)=^> то процесс | (0 = ?(ф(0), будет иметь характеристическую функцию приращения
М ехр {/ (z, Ift) —1(Щ =
= ехр | i (z, а (t2) — a ft)) — \ ((В (t2) — В ft)) z, z) j ,
где <2 (*) = а (ф (*)), B(t) = B((f(t)), при этом в силу (8)
|| В ft) - В ft) || < А(ф (4)) - (Ф (ti)) = t2- tb
т. е. B(t) уже абсолютно непрерывно. Так как g(?) — %(X(t)), то можем утверждать, что всякий непрерывный процесс с независимыми приращениями может быть получен из суммы непрерывной неслучайной функции и стохастического интеграла вида (5) с помощью непрерывной монотонной (неслучайной) замены времени.
