Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
вращений размерности 2Г. В этом пункте мы выясним, на сколько и каких
неприводимых представлений разлагается это представление.
86
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ч. I
Ответ на этот вопрос можно дать таким же образом, как в случае тензоров.
Действительно, мы уже знаем, что спиноры первого ранга преобразуются по
неприводимому представлению с весом . Произвольный спинор ранга 2
преобразуется в точности так же, как произведение спиноров первого ранга.
Так как каждый из сомножителей преобразуется по неприводимому
представлению, то произведение разложится на сумму неприводимых
представлений с весами
= (r) 11 Перейдем к спинорам ранга 3. Они пре-
образуются как произведение спинора второго ранга на спинор первого
ранга. Но представление спинорами второго ранга уже не является
неприводимым, поэтому мы должны рассмотреть это представление как
разложенное на сумму неприводимых и умножить на
представление с весом каждое из слагаемых. При этом из пред-
А 1
ставления с весом 0 получится одно представление с весом , а из
. 1
представления с весом 1-одно представление с весом и одно
з
с весом (см. таблицу II). Всего, таким образом, в разложении
представления спинорами ранга 3 на неприводимые представления
1 3
будет два представления с весом у и одно с весом .
Продолжая этот процесс, т. е. представляя спинор ранга г как произведение
спинора ранга г- 1 на спинор первого ранга и пользуясь уже имеющимся
разложением представления для спиноров ранга г-1, мы можем подсчитать, на
сколько и каких неприводимых представлений разлагается представление
спинорами любого ранга.
Таблица II
Порядок спинора Индекс представления
0 1 2 1 В 2 2 5 2 Ъ
1 1
2 1 1
3 2 1
4 2 3 1
5 5 4 1
6 5 9 5 1
В каждой клетке г-й строчки ставится#сумма чисел, стоящих непосредственно
правее и левее этой клетки в (г-1)-й строчке.
ГЛАВА 2
ДАЛЬНЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
§ 7. Матричные элементы неприводимого представления (обобщенные
сферические функции)
В § 2 мы нашли в некотором специальном базисе матрицы, отвечающие при
произвольном неприводимом представлении бесконечно малым поворотам вокруг
осей координат. В этом параграфе будет найдена матрица, отвечающая в этом
же базисе произвольному вращению g.
1. Операторы Ug. Пусть дано неприводимое представление g-^>-Tg с
некоторым весом /. Элементы Tmn (-I ^ т, п^.1) матрицы Тд являются при
этом функциями от g, которые нам надо определить.
Умножим для этого g на произвольное вращение gt. Тогда Tmnig) перейдет в
другую функцию от g, равную Tmn{gg^. Это преобразование функций Ттп
зависит от вращения gu и, обозначив его Ugi, мы можем записать, что
Легко проверить, что для преобразований U9l имеет место формула
Рассмотрим подробнее функцию Tmn(s^g1). По определению функций Ттп это
есть элемент матрицы Тдд1. Так как матрицы Т д образуют представление, то
Приравнивая элементы матриц, стоящих справа и слева, получаем
U д^тп ig) - T'mn iSS i)-
(1)
(2)
Tmn (ggl) = 2 Tms (g) Tsn (gj).
s = -I
(3)
88 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Это равенство означает, что
г •
Ug> Ттп (g) = 2 Tms (g) Tsn(gi)- (4)
$ 1
Мы видим, таким образом, что преобразование Ua, переводит элемент т-й
строки матрицы Тд в линейную комбинацию элементов той же строки Тд с
коэффициентами, зависящими от gt.
Рассмотрим (2/ -)- 1)-мерное пространство Rm функций от g, порожденное
элементами m-Vi строки матрицы Тд, т, е. функциями
Tmnig) (- I < п < I).
Из формул (2) и (4) следует, что при любом m преобразования Ugi дают
1)-мерное представление группы вращений
в пространстве Rm.
Из формулы (4) следует, кроме того, что коэффициенты линейных
преобразований, в которые U3i переводит функции Tmn{g), равны Tsn(g1) (-
Это значит, что матрицы преобразований Ugt в нашем пространстве Rm
совпадают с матрицами Тдг
Отсюда видно, что, во-первых, представление gi~*Ugi в пространстве R(tm)
неприводимо и, во-вторых, сами функции Tmn(g) (-на которые действуют
матрицы Тд1, являются в пространстве каноническим базисом. Это значит,
что преобразования Н+ и Н_, отвечающие представлению gi->Ug,, действуют
на эти функции по формулам, найденным выше (см. формулу (19), § 2).
С помощью этих соображений мы найдем функции Tmn(g) и установим ряд
рекуррентных соотношений между ними.
2. Дифференциальные операторы, отвечающие бесконечно малым поворотам.
Прежде всего нужно найти преобразования Ак, отвечающие при представлении,
определенном в п. 1, бесконечно малым поворотам вокруг осей координат.
Для этого мы, так же как это было сделано в § 3, должны взять в качестве
g3 поворот вокруг фиксированной оси на угол а и разложить UgTmn(g) = =
Tmn(ggi) по степеням а.
Вычисление проводится очень просто, если за ось вращения принять ось Oz.
Зададим произвольное вращение g с углами Эйлера (r)1, б, <р2, и пусть gl
есть вращение вокруг оси Oz на угол а. Тогда вращение ggv как легко
видеть, определяется углами Эйлера срх, б, tp2 + a- Поэтому
