Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Tmn (ggl) = Ттп (?1. 6. ?2 + а) = Ттп (?!• 6> '?2) + а^^+ ••• и
преобразование А3 есть дифференциальный оператор
(5)
П. 2] § 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 891
В общем случае разложение Tmn^gg^ = Ттп{у[, 0', с?') имеет
вид
Tmn{?v 6'- ^)=Tmn^V 6' <Рз) +
сЗГ
d<i[
*Тшп ^
дт"
do
<30
Определим
dfi
da
d%'
do.
"=о
do.
d'i 2 rfa
(3'f2 do
a=0
+ •••
(6>
для случая, когда враще-
ние gi на угол а происходит вокруг оси Ох.
Чтобы сделать это, мы рассмотрим матрицу самого вращения g как функцию
углов Эйлера. Как было указано в § 1, она имеет вид.
g(? 1. 6. <Рг)= IlgifcOPi. 0> Ъ)\\ =
COS COS у2 cos (r) sin 'fl sin ?2>
sin cos y2 + cos в cos ?1 sin Sin 9! sin 0,
- cos 9! sin 92 - cos 0 sin 9j cos 92, sin sin 0
- sin <ft sin 9, cos 0 cos 9X cos 92, - cos 9t sin 0 j . (7)
cos 92 sin 0, cos 0
Матрице вращения ggx отвечают некоторые значения параметров:, ср', б',
ср', зависящие от угла поворота а и обращающиеся в ф1, б, сс2 при а=0.
Разлагая матрицу по степеням ос, мы получим:
= II?"(?!• е> ?2)ll+a
d-П dgikdQ' dgik d<( 2
<?9i do (30 do ^ <?9г
a=0
С другой стороны, так как gy есть вращение на угол а вокруг оси Ох, то
его матрица равна
+
1 0 0 1 0 0 0 0 0
gi= 0 cos О - Sin a = 0 1 0 0 0 - 1
0 sin a COS 0. 0 0 1 0 1 0
и, следовательно,
0 ?l3 - ?12
ffSiHlftkOPi. 6> ?*)!+* 0 ёча ¦- gii
0 gas ¦ gai
+ •
(9)
Приравнивая друг другу выражения (8) и (9) для матрицы ggb и сравнивая
коэффициенты при а в этих выражениях, мы получим
уравнения, из которых определятся
d'/i
do.
dQ'
do
d? 2
do
OL = 0
Нам достаточно взять три наиболее простых элемента матриц,, на которые
умножается а в формулах (8) и (9), а именно, правый.'
90
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
[Ч. I
нижний, левый нижний и правый верхний элементы. Взяв соответствующие
выражения gik из формулы (7) и продифференцировав их, мы получим
уравнения
М'\
- Sin I
da
а = 0
= - COS <р2 sin '
dri2
cos Cp2 sin 0
ot=0
dV
da
COS Ipg Sltl
i • a I
. , -f-Sin O, COSD-r-
da l"=o da !"=0
sin cpx COS f
cos sin cp2 ¦
= 0,
-cos о sin tp! cos cp2>
из которых найдем, что
d 6' d9-2
-r- =COS?2> 37"
da ,a=0 da
la = 0
dc?l
Sin Cp2Ctg0,
Sln tpo
a = 0
sin 0
Подставляя эти выражения в формулу (6), мы найдем дифференциальный
оператор, отвечающий бесконечно малому повороту вокруг оси Ох
, п ¦ д , sin Фо д , д
¦ ctg б sin ср2 -f~ + cos о2 дд-. (10)
Ai = -
: д<?ъ 1 sin 0 d<fz 1 г дв
Оператор Аг вычисляется аналогичным образом и имеет вид
cos ?2 д
¦ - ctg б cos ср2
cb"
-¦-а-"а---------sln 92 33"
sin 0 дух 'г <90
(П)
Операторы Н+, Я_ и Я3, с которыми нам удобнее будет производить
дальнейшие вычисления, теперь легко определяются:
Н+ = Я, + 1Н2 = IА, - Л2 = (ctg 0 ^
1
дв
)•
dri>2 sin 0 d<fi
Яя - l А о -- i
dr~f2
I
Составив из этих операторов оператор Я - Н\~\- Н\~\- Н3> мы можем,
подобно тому как это было сделано в § 3 для сферических функций, написать
дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют функции Tmn{yv б, ср2)
при всех значениях тип,
d°U
д02
¦ctg I
dU
дЪ
+
COS 1
дЮ
d'-U
d?i d'fo ' fry2
) + /(/+1)Я = 0
= 0. (13)
Мы выпишем в явном виде решения этого уравнения, идя тем же путем, каким
мы в § 3 нашли сферические функции Y(tm) (<р, 0).
П. 3] § 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 91
В отличие от обозначений § 3 полярный угол 0 (широту) мы будем обозначать
буквой v, оставляя 0 для обозначений второго угла Эйлера.
3. Зависимость матричных элементов от углов Эйлера и у2.
Функции Tmn(yv в, ср2) весьма просто зависят от переменных cpt и ср2. В
самом деле, мы знаем, что произвольное вращение g можно представить как
произведение трех вращений: поворота на угол вокруг оси Oz, затем
поворота на угол 0 вокруг оси Ох и затем снова поворота вокруг оси Oz на
угол ср2. Обозначив матрицы, отвечающие при представлении каждому из этих
вращений, через TVl Т,; и Тъ соответственно, мы можем записать,
следовательно, что для произвольного вращения g имеет место равенство
Тд = T9l Тц Тъ (14)
(напомним, что при произведении операторов их матрицы перемножаются в
обратном порядке). Но матрица, отвечающая при неприводимом представлении
с весом I повороту на угол ср вокруг оси Oz, нами уже была найдена.
Согласно результатам § 2 она имеет вид
еао о о .. 0
0 еЧг-П'г о.. 0
О о о.. . e~n'f
(см. формулу на стр 39. Напомним, что строки и столбцы матрицы нумеруются
от - I до I, так что на пересечении столбца и строки с индексом m стоит
e~imf.)
Заменяя матрицы и Т? в (14) их выражениями по формуле (14') и производя
умножение, мы найдем, что
Ттп(9и 6. ъ) = е~'тъитпф)е-^, (15)
где через итпф) обозначены элементы матрицы Тг>. Остается, следовательно,
найти функции итп(0).
Подставляя 7'то"(ср1, 0, <р2) из формулы (15) в дифференциальное
уравнение (13), которому эта функция удовлетворяет, и сокращая на
e~im^e~in'^, мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение для
функций йтоп(0)- Оно имеет вид
