Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 32

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 132 >> Следующая

представление размерности 21 -j- 1 и, следовательно, веса /. Поэтому
симметрические спиноры четного ранга реализуют неприводимые представления
с целым весом, с которыми мы уже встречались, а симметрические спиноры
нечетного ранга - представления с полуцелым весом. В частности,
симметрический спинор второго ранга определяет представление с t-\. Таким
образом, симметрическим спинорам второго ранга можно сопоставить векторы
трехмерного пространства так, что при вращениях они преобразуются
одинаково. Чтобы установить эту связь, заметим, что если aik -
симметрический спинор, то его компоненты а11, У 2 а12, а22 являются
координатами его в каноническом базисе. Так как ком-
ах + 'шу
.юненты вектора ах, ау, аг в каноническом базисе равны (-
~- (см. п. 5 § 2), то эта связь задается формулами
V 2
1 (а11 - а22), а"= (а11 а22), аг = У2а12.
У 2 4 v~ У 2
3. Основные операции над спинорами. Спиноры и спинорные представления
в настоящее время широко применяются в теоретическо(r)
6*
84
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
физике. В связи с этим рассмотрим некоторые операции спинорной алгебры,
аналогичные соответствующим операциям для тензоров, рассмотренным в § 5.
Начнем с операции свертки или образования следа. Сначала рассмотрим два
спинора первого ранга {а1, а2) и {№> Ь2). Детерминант, составленный из
компонент этих спиноров
а1Ь2- а2Ь1, (4)
при преобразовании координат умножается на детерминант матрицы ||ай||, и
в силу того, что аиа22 - а12а21 = | а |2 -f- | (3 j2 = 1, выражение alb2-
а2Ь1 не меняется при переходе к другой системе координат. Таким образом,
составленная из компонент двух спиноров первого ранга билинейная форма
alb2 - а2Ь1 является скаляром.
Если ввести в рассмотрение матрицу
!М1=|-1 о II' (5)
то с помощью этой матрицы можно записать этот скаляр так:
2 2 w'*.
а=10=1 ^
Определим число Ьа9 положив
(б)
Э=1
т. е., другими словами, положив b^ - b2, Ь2 =- Ь1. Очевидно, что числа и
Ь2 наравне с Ь1 и Ь2 определяют спинор. Они носят название ковариантных
компонент этого спинора. Из формул (4) и (2) легко вывести, что при
преобразовании координат ковариант-ные компоненты спинора преобразуются с
помощью матрицы, комплексно сопряженной к матрице (1).
С помощью ковариантных компонент спинора форму (4) можно
2
записать как сумму произведений а1Ь1 а2Ь2 = 2 а1Ь\. В дальнейшем
Х = 1
мы будем опускать индекс суммирования в формулах, где суммирование
производится по одному верхнему и одному нижнему индексам, т. е. будем
записывать форму (4) просто в виде ах6х.
Рассмотрим теперь произвольный спинор ах'"'хг. Составим из его компонент
систему чисел
&*,-хг = еа9рф,'"*г. (7)
Выражение-(7) называется следом спинора ак'"'Х)' по первым двум индексам.
Из формулы (4) следует, что след спинора г-го ранга есть спинор ранга г -
2. Действительно, так как спинор r-го ранга преобразуется как
произведение г спиноров первого ранга, то мы
§ 6. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
85
имеем:
...а ,
Л3А3 4 4 ЛГАг
Если аналогично тому, как мы сделали это для спинора первого ранга,
ввести для спинора flXiXi--xr компоненты с одним опущенным индексом
(ковариантные по одному индексу и контравариантные по остальным)
Хв "." Г. кХо • *" Х"
а,1 г -г а г,
Xj AjOi • *
то след спинора ах,Ха "лг по первым двум индексам запишется коротко:
Spax,Xa-x"- = a^1-"^.
Операция образования следа, как и соответствующая операция для тензоров,
называется сверткой спинора по первым двум индексам. Аналогично
определяется операция свертки по любой другой паре индексов.
В процессе определения свертки мы столкнулись с операцией опускания
индекса, заменяющей контравариантные компоненты спинора а'2'" г
смешанными (ковариантными по одному и контрава-риантными по остальным
индексам) компонентами ах'"'Я''. Тем же способом можно опустить любое
число индексов и получить смешанные компоненты, ковариантные по одним
индексам и контравариантные по другим. При преобразовании координат
верхние индексы преобразуются матрицей ||а"||, а нижние-комплексно
сопряженной матрицей, так что формула преобразования компонент йх^ "
имеет вид
/A'fJ/v'... _ >av...
^ а'р'х' ... -^ХЧ^р*'* • • ОСд/,дССр'рЭС<с'-:Ы'зр'Е ....
Матрица ||е"Р|[, обратная к матрице ||е,3||, наоборот, "поднимает"
индексы тензора, так что, пользуясь ею, мы можем заменить любые смешанные
компоненты спинора на контравариантные компоненты, преобразующиеся по
формулам (3).
i\ ... i 'з ... j г
Произведением двух спиноров aip+1-p..ig и каждый из
которых контравариантен по одной части индексов и ковариантен по другой,
называется спинор ранга p-\~s, ком-
поненты которого суть всевозможные произведения компонент слагаемых. То,
что при подобном умножении мы действительно получаем спинор, доказывается
так же, как и для тензоров.
4. На какие неприводимые представления разлагается спи-норное
представление. Допустим теперь, что нам задан произвольный спинор ранга
г. Мы знаем, что его преобразования образуют представление группы
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed