Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 28

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 132 >> Следующая

Столбцы соответствуют неприводимым представлениям разных весов. Числа,
стоящие на пересечении l-го столбца и г-й строки, указывают кратность, с
которой представление с весом I входит в разложение представления в
пространстве тензоров ранга г. Из предыдущего вытекает простое правило
заполнения таблицы по строчкам: в каждой клетке г-й строки, начиная со
второго столбца, стоит сумма чисел, расположенных в (г-1)-й строке
непосредственно левее этой клетки, над ней и непосредственно правее нее.
Действительно, представления веса I в разложении представления г-го ранга
появятся от умножения имеющихся в разложении
74
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
представлений (г- 1)-го ранга неприводимых представлений с весами /-1, /
и /+1 на представление веса 1.
В первый столбец r-й строки переносится число из второго столбца (г-1)-й
строки, так как разложение произведения представления веса 0 на
представление веса 1 есть снова просто представление веса 1.
В первом столбце таблицы стоят представления с весом 1 = 0. Величина,
преобразующаяся по такому представлению, является либо скаляром, либо
псевдоскаляром в зависимости от того, как она ведет себя при отражении.
Так как тензор r-го ранга при отражении относительно начала координат
умножается на (- 1)г, то в первом столбце при г четном будут скаляры и
при г нечетном - псевдоскаляры. Величины, преобразующиеся по
представлению веса 1=1, суть векторы, если их компоненты меняют знак при
отражении, и псевдовекторы в противоположном случае. Поэтому
представления второго столбца при г четном описывают псевдовекторы, а при
г нечетном - векторы.
Более общо представления /-го столбца будут описывать /-векторы, если г+
/ четно, и соответствующие псевдовеличины при г 4- / нечетном.
3. Разложение тензорного представления на представления, кратные
неприводимым. Тензоры третьего ранга*). В п. 2 мы
видели, что в разложении тензорного представления неприводимые
представления с одним и тем же весом / встречаются, вообще говоря, по
нескольку раз. В этом пункте мы укажем способ разложения тензорного
представления на представления, кратные неприводимым (определение
представления, кратного неприводимому, см. § 2).
Разложение будет проводиться методом, указанным в § 2. Мы знаем из этого
параграфа, что векторы, преобразующиеся по неприводимому представлению
веса /, удовлетворяют уравнению
№/_/(/_(_ 1)/=0, (6)
где Н2 = И\-\- Т/г-h 7/з - - а Ак-преобразования,
отвечающие при представлении бесконечно малым поворотам вокруг
координатных осей. Вычислив Н2 для тензорного представления и придавая в
уравнении (6) числу / все значения, встречающиеся в г-й строке таблицы I,
мы получим ряд уравнений. Решения каждого из этих уравнений образуют
инвариантное подпространство, в котором действует представление, кратное
неприводимому представлению с соответствующим весом /.
Найдем вид уравнений, определяющих инвариантные подпространства, т. е.
вычислим для тензорного представления преобразование
*) О разложении тензорного представления на неприводимые более подробно
см. Г. Вейл ь, Классические группы, М., ИЛ, 1947.
§ 5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
75
Н2 -- (Ai -|- Л2-(-Лз). Чтобы сделать это, надо, прежде всего, найти для
этого представления преобразования Av А2 и А3. Тензорное представление
ранга г есть произведение, г трехмерных представлений. В § 4 мы показали,
что преобразование Ак, отвечающее бесконечно малому повороту в
произведении представлений, имеет вид
Ак (е/ё ¦ ¦ ¦) - (Ake)fg ... -\-е (Akf) g . . . -|- ef (Akg)
где е, /, g-векторы из пространств, в которых действуют перемножаемые
представления. Поэтому, чтобы найти, как действует преобразование Ак на
тензор * , мы должны применить это пре-
образование поочередно к каждому из индексов тензора как к трехмерному
вектору, не меняя при этом остальных индексов, и сложить результаты. Нам
достаточно, следовательно, знать, как действуют Ак на векторы, т. е.
каковы матрицы этих преобразований в трехмерном пространстве. Но это
хорошо известно. Если выбрать в трехмерном пространстве базис, состоящий
из обычных координатных ортов, то, как легко видеть, матрицы Аи А2 и А3
имеют в этом базисе вид
0 0 0 0 0 1 0 -1 0
At = 0 0 -1 > А2 = 0 0 0 | А3 - 1 0
0
0 1 0 -1 0 0 0 0 0
Если матрицу вращения вокруг &-й оси обозначить через Ast, где тройка
чисел k, s, t получена из тройки чисел 1, 2, 3 круговой подстановкой, то
мы можем объединить эти три формулы в одну:
Ast ~ 1 i ац 11 >
где
aij - §is^jt
Таким образом, преобразования Ast действуют на вектор по формуле
Ast^j ~~ == I ' rjis^t ! rjit^s' (^)
Возьмем тензор r-го ранга Применяя преобразования Ast по
очереди к каждому из индексов и складывая результаты, мы получим:
Г
Astahh ¦ ¦ ¦ if ~ 2 ^ipsahh--- ip-\tip+\... i ¦¦¦ {p-\-laip+l ...
ir.
p=l r
(8)
Так как нам нужны преобразования (As?)2, то применим к этому тензору
76 ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ч. I
вторично то же преобразование А&. Мы получим тогда:
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed