Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Г Г
04st)2fliA Д ~ 2 [ 2 ( (r)ipSai, ... iq_\Uq+^<р_1<Гр+1 ... i ~h
g=1 p =1
рФч
~Ь ^iptahh ¦ ¦ ¦ iq-ltiq+i ... ip-\Sip+\ ... ^tsaH ¦¦¦ iq-piq+i ... ~Ь
^ttaii ¦¦¦ iq-\"iq+\ ... ij H-
r
( i ¦ - • г'д -ls^3 + l... 4р-1^г*р4-1 ... I
P= 1
+ ''iplfli, ... iq-isiq+i ... "'p-lSip+1 ... *',.) ^-l^g+l ... *Г"Ь
~f~ ^staii ¦ ¦ ¦ iq - lsiq+1... *r]• ^
Для подстановки в уравнение (6) нам нужно найти выражение Н2 = = - Агъ-
Л31 - ^12- Но из формулы (8) очевидно, что Hss - 0 и Ats - -Ast, так что
(Ats)2 - (Ast)2. Поэтому, сложив (Msf)2 для всех возможных значений s и i
от 1 до 3, мы получим преобразование
- 2Н2. Проделав в формуле (9) сложение и разделив результат на два,
имеем:
Г Г
^ 2 2 ••• iq-ltiq + l ... *р -Р* р+1 ... V
3=1р=1
рФч
ан ¦¦¦ tq-\ipiq + \ .. Ур-1{ р+1... <г) ^ГаЬЧ . • • if. (Ю)
Мы видим, таким образом, что оператор -Н2 представляет собой сумму
всевозможных следов тензора а^*,...*, умноженных на единичный тензор с
соответствующими индексами, минус сумму тензоров, полученных из я*,*,...*
всевозможными перестановками двух индексов, и минус сам тензор ^<,<,...4
, умноженный на 2г.
Уравнение (-Н2-\-1(1-\- 1))а = 0 имеет, следовательно, вид
Г
2 *'?- 1ид+1... ip-liip+l...ir
р, 4 = 1
РФЧ
- ah - iq-Ppiq + l ... ",-!< q<р+1 ... <r + IZ + 1) ~ 2rl ... "r = °-
(H)
Решения этого уравнения для каждого I образуют инвариантное
подпространство, в котором действует представление, кратное неприводимому
представлению с соответствующим весом I.
§ 5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
77
Для тензоров ранга 2 указанный способ снова приводит к указанному в п. 2
разложению этих тензоров на кососимметрические, симметрические со следом
нуль и кратные единичному.
Рассмотрим подробнее расщепление тензоров третьего ранга. Согласно
таблице в п. 2 мы должны получить при разложении одно представление веса
0 (псевдоскаляр), три - веса 1 (векторы), два'- веса 2 и одно - веса 3.
Уравнение (11) для тензора ацк после сокращения на 2 приобретает вид
^ij(r)ssk i ^jk&iss И ^ki^sjs ^jik ^ikj ^kj i I
+ ['- f- - 3] am=°- (12)
Нам нужно подставить в него / = О, 1, 2, 3.
Возьмем след левой части по индексам i и /. Тогда 2-е и 3-е слагаемые
сократятся с 6-м и 5-м соответственно, и мы получим:
ssk
т. е.
+ [/(L+iI_3] assk = О,
При т. е. 1Ф 1, мы имеем, таким образом, assk - О
и аналогично asjs = aigs = 0. Таким образом, для тензоров ранга 3
подпространства, в которых действуют неприводимые представления с весом I
Ф 1 или кратные им, состоят из тензоров, у которых все следы равны нулю.
Положим 1 = 0. Учитывая, что все следы а^к равны нулю, получаем уравнение
ajik + aikj + akji
(r)ijk - 3 * (1 о)
При круговой перестановке индексов последние три слагаемых переходят друг
в друга и сумма их не меняется. Следовательно, тензор йцк также не
меняется при круговой перестановке индексов, т. е.
aijk == ajki == akij'
Поменяв местами в уравнении (13) индексы i и /, мы точно^гак же убедимся,
что
ttjik == akij == aikj'
Обращаясь снова к исходному уравнению (13), получаем, наконец,
\aijk== ajik'
Сопоставляя все^ полученные Ерезультаты, =мы видим, что решение уравнения
(13) есть кососимметрический тензор третьего ранга.
78
•гл. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Положим /=1. Уравнение приобретает вид
^ij^ssk "I- ^jk(r)iss ~I- ^ki(r)sjs Q-jik ^ikj (r)kji ijk 6' (
Подставим в это уравнение тензор Ь^хк, где хк - произвольный вектор. Мы
получаем:
^ijassxk ~Ь~ rjjkfjisxs ~"t~ fjki'jsjxs ^ijxk fjikxj ^kjxi ^ijxk = 0,
(15)
т. e. тензор Ь^хк удовлетворяет уравнению. Аналогично удовлетворяют ему и
тензоры и %jkzit а следовательно, тензор
ai)k - %ijxk + ^1кУз + (r)jkzi • (16)
Из п. 2 мы знаем, что в разложении тензорного представления третьего
ранга неприводимое представление веса 1 встречается трижды. Отсюда
следует, что решения уравнения (14) должны образовывать девятимерное
пространство. Но три вектора хк, у$ и имеют как раз девять компонент.
Покажем, что из обращения в нуль тензора следует обращение в нуль всех
этих девяти компонент, т. е. что пространство тензоров вида (16)
действительно девятимерно. Но, подставив в формулу (16) тензор ацк = 0 и
взяв все следы от этого уравнения, мы получим девять уравнений
относительно хк, yj и zit имеющих только нулевые решения.
Положим 1 = 2. Так как все следы у решения этого уравнения
по доказанному равны нулю, то уравнение имеет вид
ajik ~h aikj Ч~ akji - 0. (17)
Размерность пространства решений этого уравнения согласно результатам п.
2 равна 10. Позже мы покажем, как разложить представления в этом
пространстве на два неприводимых представления с весом 1 = 2.
Положим, наконец, 1=Ъ. Учитывая, что все следы равны нулю, получаем:
ajik + aikj akji &ijk -" g •
Рассуждая аналогично случаю 1 = 0, найдем, что в этом случае компонента
а^к не меняется ни при какой перестановке индексов, т. е. аИк -
симметрический тензор третьего ранга. Из результатов п. 2 следует, что
размерность подпространства симметрических тензоров третьего ранга равна
