ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Уг+п sin cp COS ip Уг
Можно показать по индукции (или применив, например, метод Кэли-Гамильтона), что п-я степень матрицы вычисляется следующим образом:
(8.4)
COS ip --- sin(^ n cos rap --- sin rap
sin ip cos cp sin rap cos rap
166
Глава VIII
тогда, положив г = 0, получим
Хп = кп cos пер --- sin пер п Xq
Уп sin пер cos пер Уо
(8.5)
Иными словами,
хп = кп (xq cos пер — уо sin пер), Уп = кп (xq sin пер + уо cos пер).
(8.6)
Уравнения (8.6) задают координаты хп, уп точки с начальными координатами xq, у о после п поворотов на одинаковое приращение ср. Когда к = 1, соответствующая уравнениям (8.6) фигура представляет собой окружность
радиуса л/хо + Уо-
Моногномонная спираль
Если точка Aq лежит на оси х, то у о = 0 и уравнения (8.6) принимают
хп = кпхо cos пер, уп = кпхо sin пер,
ВИД
то есть
Гп = дА'п + Уп = knr0yjCOS2 пер + sin2 пер = /сПГо Кроме того, имеем
Уп
(8.7)
Ж
71
= tg = tg пу?; следовательно, = пер.
(8.8)
Применив элементарные тригонометрические тождества, можно показать, что смысл вышеприведенных выражений сводится к следующему утверждению: если при повороте на некоторый инкрементный угол ер радиус умножается на к, то после п таких поворотов радиус умножится на кп, независимо от точки начала процесса.
Теперь мы можем сделать очень ответственный шаг, который перенесет нас из области дискретных величин в царство непрерывности, и заявить, что, исходя из уравнений (8.7) и (8.8), при повороте на произвольный угол д радиус увеличивается в
kV/V
раз. Символом гп мы обозначили радиус после поворота на угол пер, радиус же после поворота на произвольный угол $ от оси х будем обозначать через г ($). При г (0) = 0 имеем
г ($) = rok®^,
МОНОГНОМОННАЯ СПИРАЛЬ
167
а если положить
fi = то есть к = 10^, (8.9)
то можно записать следующее уравнение:
г ($) = го х 10м^. (8.10)
Это рассуждение применимо и к тем случаям, когда основание не равно 10. Можно, в частности, написать и так:
г (д) = r0eAl?, где А = (8-11)
Уравнение моногномонной спирали в полярных координатах определяет радиус г как функцию от угла $ и имеет вид г = г$ех^; отсюда, кстати, и термин — логарифмическая спираль.
Очевидно, что положения последовательных диагональных вершин витого моногномонного прямоугольника образуют моногномонную спираль. Мы будем называть такую спираль прямоугольной моногномонной спиралью порядка га. Принимая во внимание, что при повороте против часовой стрелки на тг/2 радиан радиус увеличивается в Фш раз, можно по заданной величине га вычислить коэффициент расширения Хт для левосторонней спирали (т. е. такой спирали, которая разворачивается в направлении против часовой стрелки); иными словами,
Г = ГоФт = г0еАт7Г/2, Ат = 2. (8.12)
Радиус правосторонней спирали умножается на 1/Фт при повороте на угол 7г/2 против часовой стрелки и на Фш при повороте на угол тг/2 по часовой стрелке. В обоих случаях величина коэффициента расширения одинакова, меняется только знак.
Спираль, соответствующая золотому прямоугольнику, характеризуется следующим значением коэффициента расширения:
Ai = | In 1+2 « 0,306349,
коэффициент же расширения спирали, описываемой вокруг витого гомо-гномонного прямоугольника, равен
X1/V2 = ! In -\/2 « о, 2206356.
168
Глава VIII
Это рассуждение применимо не только к прямоугольникам, но и к другим витым фигурам. Например, радиус спирали, описываемой вокруг витого золотого треугольника, увеличивается в Фш раз при повороте на угол 108°. Таким образом, А = 5 In (1, 618034 ...)/Зтг = 0, 2252908. В случае гомогно-монного треугольника А = 0,4412712.
Рассмотрим матрицу
1 —т
г 1
где г — некоторое произвольное число. Положив г = tg ер, запишем
1 ---т 1 -tg (р 1 cos ср --- sin(^
г 1 tg <р 1 cos ср sin ср cos ср
откуда следует, что матричное уравнение
х%-\-1 к 1 ---г Xi
Vi+i л/1 + т2 г 1 Vi
(8.13а)
имеет следующее решение:
Хп = кП cos пер --- sin пер Xq
Уп sin пер cos пер Уо
при tg ер
т.
(8.13 Ъ)
Сравнив полученный результат с уравнением (8.5), отметим, что оба уравнения (8.13) описывают спираль, радиус которой увеличивается в к раз при каждом повороте на угол ер = arctgr.
Коэффициент cos ер = l/v/TT т2 в уравнении (8.13а) есть функция от грубости выбранного углового разрешения и стремится к единице при уменьшении величины угла ер. Назовем этот коэффициент коэффициентом дискретизации, связанным с угловым разрешением (р. Например, для построения на экране компьютерного монитора окружности радиуса г с угловым разрешением ер радиан можно применить следующий простой алгоритм:
