ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Рис. VIII.7. Длина спирали равна длине окружности.
В самом деле, пусть длина некоторой произвольной хорды равна, скажем, с; тогда длина следующей хорды составит с/Фт. Длины последующих хорд — с/Ф^, с/Ф^, ..., а сумма такого бесконечного ряда равна, как известно, с/(Фт — 1), т. е. вполне конечное число. В качестве самостоятельно-
Моногномонная спираль
177
Рис. VIII.8. Сплетающиеся спирали.
го упражнения читателю предлагается вычислить коэффициент расширения спирали, целиком вписанной в некоторую заданную окружность и пересекающей ее в одной точке, причем длина спирали равна длине окружности. Ответ можно подсмотреть ниже:
А = 1 и 0,1612098.
^4тг2 - 1
Такому коэффициенту расширения соответствует угол гр ~ 80° 50' 31", а сама спираль представлена на рис. VIII.7 — соразмерность ее и в самом деле уникальна. Бернулли обнаружил еще одну уникальную спираль, совпадающую с собственной эвольвентой. Можно показать, что такая спираль обладает коэффициентом расширения А ~ 0,2745, т. е. гр ~ 74° 39'. Еще одно упражнение: читатель может самостоятельно построить узор, составленный из переплетающихся логарифмических спиралей, радиусы которых удваиваются с каждым поворотом на 60°, соответствующим значению (3 In 2)/тг, а полюсы располагаются в узлах решетки из равносторонних треугольников (см. рис. VIII.8).
178 Глава VIII
Прямоугольная дигномонная спираль
Теперь мы в состоянии сделать следующий шаг и обратиться к матрице
1 •
cos р — -smp a sin р cos р
Читатель может самостоятельно доказать по индукции, что
Рассмотрим матрицу
COS (? п cos mp 1 •
--- - sinritp
a sin у? COS (? a sin mp COS ПС/?
(8.22)
1 -
—т т
—г
тп
1
(8.23)
где гига — положительные числа, причем га тогда матричное уравнение
Положим г = tg ср;
1 Уг+1
к
л/1 + г2
1 -
—г
т
— т тп
1
Xi Уг
(8.24а)
имеет решение
Хп Уп
к
п
cos rup
m
sm пер
щ sin rap cos mp
xo у о
При 2/o = 0 имеем
где р = arctgr.
(8.246)
хп = х0кп cos пр, уп = хощкп sin mp,
(8.25)
X
п
(8.26)
Если в случае моногномонной спирали дп = пр при любом значении п, то в уравнении (8.26) это верно только тогда, когда кратно тг/2. Положив
7Г
У
7Г
Ж0
(8.27)
Прямоугольная дигномонная спираль
179
получим
77 ,2
kv =ЩтФ1=г1,Ф1 = ФЖ. (8.28)
С другой стороны,
X (тг) — — CQ (j[\
кv cos(7r) = —то есть —— = —фгф3. (8.29)
Рис. VIII.9. Дигномонная спираль.
Кривая, описываемая матричными уравнениями (8.24), представляет собой дигномонную спираль с пропорциями ф3 и фг и показана на рис. VIII.9. Принимая во внимание, что
ТО = у/Га, фгфз = Ф т,
ф>г у*
Ф~8 = *
из уравнения (8.28) получаем
7Г
/с2^ =^ФЖ = Ф
m
180
Глава VIII
Сравнив полученный результат с уравнением (8.15), заметим, что к = кт^, и запишем уравнения прямоугольной дигномонной спирали в конечных разностях:
(8.30а)
^г+1 gAт arctg т 1 ------т Xi
тп
У г+1 л/1 + Т2 --- Т 1 Уг
тп
^г+1
2/г+1
СОБ(р
т
sin ср
г
— sin Ц) т г
cos ср
Xi
Уг
(8.306)
_ еХтП(р cos пср -щ sin пер Хо
о
Уп т sm П(^ cos пер Уо
(8.30с)
Ее аналитические уравнения от переменного параметра р имеют вид:
х
У
cos р
т
sin р
msinP
cos р
Хо
Уо
где т = tg ip, \т =
21пФ
т
7Г
(8.30d)
Для обозначения параметра мы выбрали букву р, а не $, как в уравнении (8.16d), поскольку через д у нас обозначен только угол arctg у/х.
Например, можно построить семейство дигномонных спиралей с rs = = 1, подставляя различные значения а в уравнение
^г+1
У г+1
= 1,000306
1
0,001
а
0,001а Xi
1 Уг
(8.31)
Пусть даны прямоугольники ABCD и ADEF, как показано на рис. VIII.9; тогда соответствующую спиральную огибающую можно построить следующим образом. Радиусы О А = а и ОС = с коллинеарны. Так как при каждом повороте на угол 7г радиус умножается на фгф8, имеем АС = а (1 + фгфв), а поскольку
АС
1 +
то
а =
фз (1 + фгф8)
Декартовы координаты принадлежащих спирали точек Xi, yi относительно начала координат О задаются матричными уравнениями (8.30), где
