ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
этой метафоре и счесть, что, поскольку х = д/ТТТ, мы имеем полное право
162 Глава VII
«переселить» его в следующую комнату и записать х = \/Ь + ах, что дает нам уравнение
,х‘п — ах — 6 = 0. (7-19)
Уравнения (7.15) и (7.16) соответствуют, очевидно, случаю а = b = 1.
В главе III мы могли видеть, что уравнению
— Fm^nx — =0 и, в частности, х2 — тх — 1 = 0 (7.20)
соответствует решение х = Фт = (га + л/га2 + 4)/2 для всех значений п. Следовательно,
Фт — \/Fm,n—1 + Fm,n^rm ДЛЯ ВСеХ Т1 ф- 0, 1, (7.21)
что, следуя предписаниям Гильберта, можно преобразовать к виду
Фт — у Fm?тх—1 + Fm^n у Fm?n—i + Fm^n yj Fm^n—i + Fm^n \J.... (7.22)
Например, припомнив, что = 1, Fij2 = 1, i*i,3 = 2, Fij4 = 3, Fij5 = 5, ..., получим
0 — Ф1 — Vl • • • — у 1 + 2 \ 1 + 2 \ 1 + 2
4 2 + 3 a /2 + 3 л/2 + 3
(7.23)
При ш = 2 и Ф2 = 1 + л/2 уравнение (7.21) принимает вид:
$2 — ^2,n-1^2 — ^2,71 = 0.
Последовательность Фибоначчи порядка га = 2 составляют числа 0, 1,2, 5, 12, 29, .... Следовательно, мы можем записать
1 + л/2 — yl+2yl+2yl+2д/... —
______________ (7.24)
2 + 5Л3/2 + 5л/2 + 5 3
Заметки на полях
163
Ниже представлен один довольно занятный, хотя, возможно, и не слишком полезный, результат наших рассуждений. Известно, что
sinh х
/у* ___ /у*
g _________ g
1_
I 1
положим т = 2 sinh х, следовательно, при положительных значениях х
ех =
]j 1 + 2 sinh x^l 1 + 2 sinhxy^1 + 2 sinh ж д/ ...
(7.25)
Можно также записать, каков бы ни был смысл этого выражения,
ех = 2 sinh х +
1
2 sinh х +
1
(7.27)
2 sinh х +
2 sinh х +
Невозможно закончить обсуждение повторных корней, не упомянув о знаменитой формуле, предложенной в 1593 французским математиком Франсуа Виетом в трактате «Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII»:
2
7Г
1
i + i /1 + 1 /I 22V22V2
(7.27)
а также о замечательно красивой формуле, обнаруженной Рамануджаном:
(7.28)
Если вас теперь кто-нибудь попросит назвать целое число х, удовлетворяющее равенству
X + \ X + у/ X + . . . — X,
(7.29)
то вряд ли у вас возникнут трудности с ответом11.
пх = 2.
Глава VIII Спирали
Спираль — это одухотворенный круг. В спирали круг расцепляется, разворачивается, перестает быть порочным — освобождается.
(Владимир Набоков, Speak Memory)
Что такое спираль и какое отношение — не считая их «удивительной» природы, столь очаровавшей Бернулли, — имеют спирали к изучению итерационных процессов и гномонов? Попыткой ответить на этот вопрос и является настоящая глава. Начнем мы с выражения уравнения спирали в декартовых и полярных координатах. Затем обобщим наши рассуждения на случай дигномонных спиралей и завершим главу рассмотрением конечно-разностного подхода к исследованию колебаний в линейных системах, проиллюстрированным анализом поведения простого маятника и электрического резистивно-индуктивно-емкостного (RLC-) контура. Таким образом, решение стоящей перед нами проблемы мы осуществим в три этапа, двигаясь от простого к более сложному — а не от общего к частному, как подобает всякому доброму «картезианцу».
Матрица поворота
Рассмотрим рис. VIII. 1. Возьмем некоторую произвольную точку Ai с декартовыми координатами Xi, yi и соединим ее с началом координат О радиусом угол наклона которого к оси х равен 'di радиан. Переместимся по кривой с в точку Ai+i с координатами Xi+\, yi+При этом происходит поворот радиуса против часовой стрелки на элементарное угловое приращение ср, а длина радиуса умножается на некоторый коэффициент к. Запишем
Xi+1 = kri cos (di cp) = kri (cos di cos cp — sin di sin cp), yi+i = kri sin (di -\-(p) = kri (sin di cos (p + cos di sin ф),
а поскольку
Xi = Ti cos di, yi = Ti sin di,
Матрица поворота
165
*/+1 Xi
ТО
Рис. VIII. 1. Поворот с удлинением. Xi+1 = к (Xi COS (р — Уг sin (fi),
уг+1 = к (Xi sin (р + уг COS if).
Записанная в матричной форме
^г+1 = к cos ср --- sin(^ Xi
2/г+1 sin ср cos ср Уг
(8.2)
(8.3)
эта система уравнении называется матрицей поворота.
После п поворотов на одинаковое приращение ср с постоянным к координаты Xi+п, Уг+п принимают вид:
= кП COS ip --- sin(^ n Xi