ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
1 . л 1
Xq = —a COS 6S = —
фз (1 + фгфз)
уо = —a sin 6S = -
1 “b фгф±
(8.33)
Архимедова спираль
181
Можно также для каждого значения г отложить координаты точек спирали хг, у' относительно нового начала координат А:
х\ = Xi + a cos 0S, у[ = yi + a sin 0S,
где (acos#s, a sin Оs) — декартовы координаты полюса О относительно начала координат А.
Архимедова спираль
На примере другой широко известной, хотя и менее удивительной спирали, называемой уравновешенной, или архимедовой, спиралью, наблюдается один любопытный парадокс. Если радиус логарифмической спирали возрастает с увеличением угла поворота геометрически, то радиус архимедовой спирали возрастает или уменьшается линейно. Уравнение такой спирали имеет вид г = кв, и можно показать, что по мере того, как спираль сходится к своему полюсу, ее длина устремляется в бесконечность. Этим свойством она напоминает гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..., члены которого очень быстро становятся исчезающе малыми, однако ряд все же расходится. Бесконечность суммы гармонического ряда доказал один из братьев Бернулли, Иоганн; опубликовал этот результат в 1713 году другой брат, Якоб, сославшись, разумеется, на Иоганна. Архимедова спираль воплощается в траектории объекта, движущегося с постоянной радиальной скоростью к центру или от центра вращения по некоторой поверхности, вращающейся с равномерной угловой скоростью, — так движется, например, игла звукоснимателя по поверхности граммофонной пластинки. Приближение к архимедовой спирали можно получить, разматывая бухту веревки, намотанной на барабан: такая спираль, называемая эволъвентной спиралью, строго говоря, не является архимедовой, так как в этом случае с увеличением угла поворота линейно возрастает не радиус, а длина отрезка прямой, касательной к барабану. Остроумные инструменты для построения эвольвентой и архимедовой спирали можно найти все в тех же «Математических досугах» Мартина Гарднера (рис. VIII. 10).
Древние греки были в восторге от архимедовой спирали, так как с ее помощью находились замечательные псевдорешения задач о квадратуре круга и трисекции угла. Предположим, что существует некий точный метод построения архимедовой спирали, и нам необходимо разделить на три равные части угол СРВ на рис. VIII. 11а. Строим сегмент архимедовой спирали с полюсом в точке Р. Далее проводим дугу АВ окружности и делим отрезок АС обычным образом на три равные части. Через полученные точки проводим дуги, которые пересекают спираль в точках D и Е. Наконец, строим лучи PD и РЕ, которые, как можно удостовериться, и делят угол СРВ на три равные части.
182 Глава VIII
Рис. VIII. 10. Построение архимедовой спирали. По книге Мартина Гарднера «Математические досуги» (Martin Gardner. The Unexpected Hanging, p. 105).
На рис. VIII. 1 lb показано, как можно найти квадратуру круга. Архимедова спираль с полюсом в точке О завершает свой первый оборот в точке Т. Через эту точку проводится касательная АТ, пересекающая перпендикуляр к прямой ОТ, восстановленный из полюса О, в точке А. Можно показать, что О А = 7г х ОТ. Поскольку задача о вычислении квадратуры круга, в сущности, сводится к определению числа 7г, данный метод, судя по всему, дает на нее достаточно однозначный ответ. Как бы то ни было, вышеописанные построения нарушают главное условие, согласно которому обе задачи должны быть решены исключительно с помощью угольника и циркуля, — соблюсти это условие, по всей видимости, невозможно. Какими бы изящными ни были рассмотренные методы, они ни в коей мере не являются истинными решениями Платоновых задач, как не являются ими и тысячи других методов, предложенных за все прошедшие столетия.
Затухающие колебания
Одно из обобщений полученных выше результатов оказывается особенно полезным при изучении простого гармонического движения и поведения электрических колебательных контуров. В приложении к настоящей главе мы воспользуемся возможностью и познакомим читателя с одним
Затухающие колебания
183
Рис. VIII. 11 а. Трисекция угла с помощью архимедовой спирали.
Рис. VIII.lib. Нахождение квадратуры круга с помощью архимедовой спирали.
важным следствием из исчисления конечных разностей, которое мы, разумеется, могли бы применять с самого ее начала. Вместо этого мы предпочли прибегнуть к постепенному, последовательному подходу в надежде сделать изложение материала по возможности более доступным. Введем для начала следующую фундаментальную матрицу:
cos ср + b sin ср —csin(^ a sin ср cos if — b sin cp
где b
л/
ас
1,
(8.34)
184
Глава VIII
Нетрудно показать по индукции, что
п
cos ср + b sin ср —csin(^
a sin ip cos if — b sin if
cos mp + b sin rap —c sin rap a sin rap cos rap — b sin rap
(8.35)
откуда следует, что уравнение
^г+1
2/г+1
cos ip + b sin ip —csin(^ a sin ip cos ip — b sin cp
