ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Xi-\-1 1 1 ---г Xi
У г+1 л/1 + Г2 г 1 Уг
где х0 = г, уо = 0, т = tg ip. (8.14)
Вернемся к прямоугольной моногномонной спирали. Обозначим через кш^
МОНОГНОМОННАЯ СПИРАЛЬ
169
значение коэффициента к, соответствующего некоторому угловому приращению ср. Положив уо = 0, хо = го, имеем
Ф
т
7Г
Г^1 Го
7г/2<?
Ь> ---------
гьт,^ — с
(8.15)
Ниже даны три уравнения в конечных разностях, каждое из которых описывает прямоугольную моногномонную спираль порядка т с угловым приращением ср = arctgr:
*^г+1 gAт arctgr 1 ---г
2/г+1 л/1 + т2 г 1 Уг
(8.16а)
^г+1 COS<? --- sin(^ Xi
2/г+1 sin(^ cos cp Уг
Xn cos ncp --- sin ncp Xq
Уп sin ncp cos ncp Уо
(8.166)
(8.16с)
Матричное уравнение такой спирали в декартовых координатах от параметра д имеет вид:
(8.16(f)
Запишем также ее уравнение в полярных координатах, выражающее радиус г в виде функции от угла
X _ -Э A rri $ COS$ --- sin^ ж0
У - O sin $ cos$ Уо
г = гое
(8.16е)
где
_ 2 In Фт _ т + л/4 + га2
— 2
Напомним, что величина еЛтгг<р представляет собой коэффициент, на который умножается радиус г при его повороте на угол, равный элементарному
приращению ср, а величина cos ср = л/1 + т2 есть коэффициент дискретизации.
Важно понимать, что все уравнения (8.16) относятся к одной и той же кривой. Уравнения (8.16d) и (8.16е) описывают каждую точку этой кривой, тогда как уравнения (8.16а, Ь, с) представляют собой описания бесконечного множества точек, разделенных вполне дискретными (не бесконечно малыми) интервалами. Итерационные уравнения (8.16а, Ь) определяют каждую
170
Глава VIII
Рис. VIII.2. Золотая прямоугольная моногномонная спираль с точками дискретизации.
такую точку через предыдущую точку, а уравнение (8.16с) описывает каждую точку в явном виде через общее количество итераций. На рис. VIII.2 построена золотая прямоугольная моногномонная спираль, на которой жирными точками показаны точки дискретизации, соответствующие приращению ср = 2тг/30 радиан, т. е. задаваемые итерационным уравнением с г = = 0,2125566 и eXmV = 1,066265:
^г+1 У г+1
1,066265
1 -0,2125566
0,2125566 1
Xi
Уг
(8.17а)
Моногномонная спираль
171
Если выбранное значение ср очень мало, имеем
кт,(р = eXmip = (1 + Аш<р) и cos ср ж 1; то же для правосторонней спирали:
к
т,ср
е W = (1 - Amip).
При г = 0.001 получаем для левосторонней золотой прямоугольной спирали следующие итерационные уравнения:
х%-\-1
У г+1
= 1,000306
1 -0,001
0,001 1
Xi
Уг
(8.176)
Уравнения (8.17) также описывают одну и ту же спираль (при условии, что xq и уо в обоих случаях одинаковы), различие лишь в степени дискретизации.
Самоподобие
Представьте себе, что с изображения логарифмической спирали сделали фотокопию с увеличением к. Уравнение новой спирали г' = кгоех^ можно переписать в следующем виде:
г' = гоеА^еА6> = гоел^+6>\
где О = (In к)/А.
Таким образом, увеличенная спираль оказывается идентичной оригиналу, но развернутой против часовой стрелки на угол 0. Читатель может убедиться в этом самостоятельно, построив увеличенную спираль на листе прозрачной бумаги, а затем наложив его на изображение исходной спирали полюс к полюсу. Поворачивая лист прозрачной бумаги, вы рано или поздно наткнетесь на такой угол О, при котором спирали полностью совпадут. При известном коэффициенте увеличения можно определить коэффициент расширения спирали А, и наоборот.
Равноугольность
На рис. VIII.3 изображен сегмент логарифмической спирали, ограниченный двумя положениями радиуса; углы наклона радиусов к горизонтальной оси, на которой длина радиуса равна го, составляют, соответственно, д и $ + di9. Воспользовавшись соотношением ех ~ (1 + х) при малых значениях х, вычислим разницу между длинами радиусов:
гоеА (^+с^) — гоех^ = гоеА^(еАс^ — 1) = roAeA^ dd. (8.18)
172
Глава VIII
Рис. VIII.3. Равноугольность.
Обозначим буквой ф угол между касательной к спирали в некоторой точке и радиусом, проведенным к этой же точке. Тогда
. , гоАел^ di9 л /о-1гл
ctg ^ =-----А^ГЗТ = л- (8Л9)
гое ах;
Следовательно, угол ф постоянен. Из-за этого любопытного свойства логарифмической спирали ее часто называют равноугольной спиралью. Термин этот впервые употребил в своей книге «Harmonia mensurarum»1 Роже Коте, познакомившийся с ее описанием в одном из писем Декарта к Мерсенну (1638 год)2. Очевидно, что предельными формами спирали являются окружность (ctg-1 А = 7г/2, т. е. А = 0) и прямая (ctg-1 А = 0, т. е. А = оо).