ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
(Иэн Стюарт)1
Архитектор Ричард Падован обнаружил некую последовательность целых чисел, которую, не обладай она весьма интересной геометрической метафоричностью и не допускай некоторых поразительных параллелей с золотым сечением, можно было бы счесть достаточно тривиальной — в связи с чем злые языки поспешили обозвать ее «искусственной» и «пластмассовой». Тривиальной она ни в коем случае не является, в чем нам вскоре предстоит убедиться. Эта последовательность определяется рекуррентным соотношением
Pi+з — Pi + Pi+li (7-1)
причем
Ро = Р\ = О, Р‘2 = 1. (7.2)
Полученную таким образом последовательность можно распространить и на отрицательные г и записать:
i -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Pi 1 -1 1 0 0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37 49
В качестве начальных условий можно использовать любую тройку соседних членов последовательности. Как мы установили, с вышеприведенным выбором начальных членов согласуется помещенный ниже анализ. Рассмотрим сначала уравнение
р3 — р — 1 = 0, (7.3а)
аналогичное уравнению
ф2 -ф- 1 = 0, (7.3Ь)
решением которого является золотое сечение ф.
1 «Tales of a Neglected Number», Scientific American (June 1996), pp. 92-93.
148
Глава VII
Приблизительное значение р, удовлетворяющее уравнению (7.3а), можно вычислить до любого желаемого знака посредством итераций выражения
i + yi + \J 1Н- • • • vr -ь s —> р, (7 л)
где s — некоторая произвольная «затравка». Итерации можно выполнять на карманном калькуляторе до тех пор, пока мы не получим два одинаковых последовательных значения. С точностью до десяти значащих цифр
р« 1,324717957. (7.5)
В математической литературе последних лет это число называется пластмассовым числом или пластмассовым сечением. Пренебрегая мнением всевозможных критиканов, мы все же полагаем, что это число имеет не меньшее право на благородный титул, чем его прославленный предок, и в дальнейшем будем называть его серебряным числом или сечением. Золотое сечение обозначается греческой буквой ф в честь древнегреческого скульптора Фидия, одного из строителей Парфенона. Представляется уместным обозначить серебряное сечение первой буквой фамилии архитектора Падована, т. е. латинской буквой р.2
Подставив в последовательность
lli 234
... 2? pi 1? Pi Pi Pi Pi •••
равенство р3 = р + 1, получим
... (~р2+р + 1), О2-1), 1, р, р2, 0 + 1), (р2+р), ...
Сопоставив коэффициенты при 1, р, р2 в членах вышеприведенной последовательности с членами числовой последовательности Падована, мы обнаружим, что
рг = Ргр2 + Рг+1Р + Pi-1; (7.6)
этот результат можно также доказать индукцией по г. Приведем для сравнения выражение для вычисления г-й степени золотого сечения с помощью чисел Фибоначчи:
ф1 — + Fi— 1-
2Тем из читателей, кто склонен верить в знаки, возможно, будет интересно узнать, что родство между этими двумя числами простирается несколько глубже, чем может показаться
на первый взгляд. Как отмечает Иэн Стюарт, итальянский город Падуя (Padova) расположен не далее чем в ста милях от Пизы, родины Леонардо, известного как Фибоначчи.
ОТ ЧИСЕЛ К ГЕОМЕТРИИ
149
Из (7.6) следует, что число р является действительным решением уравнения
хг - РгХ2 - Pi+ix - Pi-г = 0 (7.7)
при всех значениях г. Например,
х5 — х2 — х — 1 = 0, х7 — 2х2 — 2х — 1 = 0. (7-8)
Как и в последовательности Фибоначчи, значение отношений двух последовательных чисел Падована сходится к р, хотя и медленнее. При больших г имеем
р « 'J-1. (7.9а)
-ч
С помощью уравнения (7.6) читатель может самостоятельно убедиться в истинности следующего утверждения:
(3р2 - 1 )Pi - рг = 2Ргр2 - Pi+lP ~ Pi+2-
При больших г, применяя (7.9а), получаем Pip2 Г^ Pi-\-iP ^ Ръ-\-2* Следовательно, 2Ргр2 - Pi+lP - Рг+2 и
pi ( ф*
Pi «----------- для сравнения: Р» « ------------ I ; (7.96)
(Зр2 - 1) ^ Р (20 - 1) 1 ’ V '
кроме того,
р1 « 2Pi+ip + Р^i (для сравнения: фг « 2Pi+i — Fi). (7.9с)
Например,
(7.9а) -> ^ и 1,324324324 и р,
(7.96) ^ « 49,03365208 * Р19,
(7.9с) 2Р20р + Pis = 209,2133344 и р19.
От чисел к геометрии
