ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Характер самоподобия (или гномонности) улитки позволяет описать ее логарифмической спиралью, радиус которой удваивается с каждым поворотом на 60°, как показано на рис. VII.6. Коэффициент расширения такой спирали равен А = З/тг In 2 « 0,661906801. Рис. VII.7 иллюстрирует, как с помощью аналогичного процесса можно построить квадратную улитку. Коэффициент расширения спирали в этом случае составит А = = 2/тг In 2 « 0,4412712. Хотя процесс построения улиток бесконечен,
Улитка
155
Рис. VII.6. Треугольный гномон треугольной улитки.
и треугольная, и квадратная улитки обладают конечными периметрами. Периметр треугольной улитки равен 2(1 + ^ + ^ + ...) = 4,
Z т:
квадратной — 6. Аналогично, величины их площадей определяются сходящимися рядами, следовательно, также конечны.
Несмотря на конечный характер периметров и площадей обеих разновидностей улиток, мы воздержимся от называния их финитными полигонами, оставив это обозначение для многоугольников, содержащих конечное количество конечных сторон. Отсюда — следующее удивительное утверждение:
Квадрат является гномоном золотого прямоугольника, а равносторонний треугольник — гномоном серебряного пятиугольника. Кроме золотого прямоугольника и серебряного пятиугольника, не существует (по всей вероятности) других финитных многоугольников, гномонами которых были бы правильные многоугольники.
Рис. VII.7. Гномон квадратной улитки.
156
Глава VII
Рис. VII.8.
Заметки на полях
Реп-тайлы Голомба
Существуют определенные семейства фигур, с помощью которых изучать гномоны — одно удовольствие. К таким фигурам относятсяреп-тайлъг, термин был предложен американским математиком Соломоном Голомбом для обозначения всех тех удивительных форм, которые представлял в своей колонке в «Scientific American», а затем собрал под одной обложкой в своей книге «Математические досуги» Мартин Гарднер3 (вместе с другими замечательными, развивающими воображение очерками).
На рис. VII.8 изображены три трапеции, каждая из которых состоит из четырех конгруэнтных трапеций, каждая из которых, в свою очередь, геометрически подобна большой фигуре, и имеет в четыре раза меньшую площадь. Такую малую трапецию называют реп-А-фигурой или реплицирующей фигурой четвертого порядка, имея в виду, что для построения по определенным правилам подобной ей большой фигуры этих малых трапеций потребуется четыре штуки. Процесс можно повторять сколько угодно раз, можно даже вымостить элементарными трапециями какую-либо плоскую поверхность — поэтому, собственно, Голомб и назвал их реп-тайлами4.
Голомб обнаружил еще одно интересное свойство реп-тайлов: параллелограмм 1 х у/к является реп-/с-фигурой. То есть для построения подобного
ему параллелограмма требуется к параллелограммов 1 х Vk, как показано на рис. VII.9. В переводе на язык гномонов наблюдение Голомба эквивалентно следующему утверждению:
Фш = Vk или т = Qm — = -—-.
Фт у/к
Пусть дан параллелограмм-затравка с длинами сторон 1 и у/к, иначе говоря, с пропорцией у/к. Тогда длина одной из сторон его гномона — общая
3 Martin Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions (New York: Simon and Schuster, 1969). (Рус. перевод: Гарднер М. Математические досуги (М.: Мир, 1972).)
4См. прим. к с. 12. — Прим. перев.
Заметки на полях
157
Ь”
-----Уз d d
Рис. VII.9. Параллелограммы 1 х у/к являются реп-?;-фигурами. с затравкой — равна у/к, а другая —
ф mVk= {к~1Уп = к-1.
л/к
Таким образом, гномон состоит из к — 1 параллелограммов, каждый из которых конгруэнтен затравке. В сумме затравка и гномон составляют фигуру, подобную затравке, но в к раз большую. Кстати, именно Голомбу принадлежит честь следующего открытия (суть которого мы выразим сразу в гномонных терминах): существует только две гомогномонных (т. е. конгруэнтных собственному гномону) фигуры — параллелограмм с пропорцией у/2 и равнобедренный прямоугольный треугольник.
Много лет назад плодовитый Голомб обнаружил также фигуру, которая представляет собой не что иное, как уже знакомую нам треугольную улитку (рис. VII. 10). Она является реп-4-фигурой, поскольку при продолжении построения в бесконечность три внутренних завитка смыкаются друг с другом и малый треугольный просвет в центре полностью исчезает.
Commedia dell’Arte
В своем эпохальном трактате «Ars Magna»5, увидевшем свет в 1545 году, итальянский математик Джироламо Кардано (1501-1576, рис. VII. 11)
4Комедия масок, комедия дель арте (ит., театр, жанр). — Прим. перев.
5«Великое искусство» (лат.). — Прим. перев.
158
Глава VII
Рис. VII. 10. Треугольная улитка — реп-4-фигура. предложил следующее решение кубического уравнения х3 + ах = Ь:
х
\
(7.12)
Подставив в это выражение а = —1 и 6 = 1, можно найти решение уравнения р3 — р — 1 = 0:
