Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
удается распространить его действие на времена 0(1/є2), а иногда и на весь интервал [0, оо ]. В некоторых ситуациях удается построить метод, работающий на временах O(VVt), и это тоже представляет интерес.
Содержательные примеры. Рассмотрим пример, исторически положивший начало развитию и применению метода осреднения.. Движение планет Солнечной системы достаточно точно описывается системой уравнений вида
IfT = Zt(Xl) + 2 ?ij FIjixi, Xj), і =1,2,..., I. (4)
j
§ 19]
ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ
263
Здесь / — число планет, і — номер планеты, Xi — шестимерный вектор, описывающий состояние планеты-точки в фазовом пространстве, /; — сила притяжения Солнца, действующая на і-ю планету, Cij Fijixi, Xj) — сила взаимного тяготения і-й и й планет,
— соответствующий малый параметр.
Невозмущенная система
'zI = Ziizl)* г = 1,2, ...,/, (5)
имеет известное решение — движение по эллипсам. Каждая планета имеет свой период T1 и, строго говоря, то, что будет излагаться ниже, неприменимо к данному примеру. Хорошую и эффективную теорию удается построить для одночастотной задачи, когда все компоненты невозмущенной траектории имеют общий период. Обобщение этой теории на многочастотный случай (а именно таким является Солнечная система) связано с принципиальными и до настоящего времени еще не преодоленными трудностями. Тем не менее именно для расчета движения планет впервые без строгого обоснования («эвристически») стали использоваться методы осреднения, которые берут начало в трудах классиков небесной механики, в частности Гаусса.
Второй пример задачи (3) — расчет движения искусственного спутника Земли. В этом случае / — сила притяжения Земли, zF — малые силы, связанные с нестрогой сферичностью Земли, с сопротивлением крайне разреженной на высоте орбиты спутника атмосферы, с притяжением Луны и т.п. Наконец, третий пример — дрейф электрона в «скрещенных» магнитном и слабом электрическом полях.
Может показаться, что для современного специалиста, вооруженного мощными ЭВМ, нижеследующее особого значения не имеет. В конце концов это обычная задача Коши, с которой «все ясно», существуют хорошие стандартные программы и можно «пробить» задачу мощью современных компьютеров. Однако речь идет об интегрировании задачи Коши на очень большом интервале времени, и здесь остро стоит вопрос об оценке накопления вычислительных погрешностей. Надежно выделить на этом фоне влияние малого возмущения не так-то просто. Нужно учитывать и то, что в расчетных формулах численного интегрирования типа
*n+i=*» + T/(*,,) + ^(*,,) . (6)
при достаточно малом є величина етF может йыйти за пределы точности машинного представления х. В таком расчете возмущение просто игнорируется.
He следует забывать и «экономическую» сторону: при интегрировании шаг т должен быть таким, чтобы погрешность аппроксимации была существенно меньше возмущения єF. Пусть, для опреде-
264
11 си i.ji і їжі) п і i.i і мікіді.і iti.i'ini Vitm лыюй «і'иіикм
|4 Il
ленности, это достигается при їй 10'2T (T — период невозмущенной системы). Если є очень мало и время O(XIt) содержит, допустим, IO4 периодов (а это не такой уж нереальный случай), прямое интегрирование может оказаться на пределе возможностей ЭВМ.
Стробоскопический метод. Качественные соображения. Приступим к предварительному качественному анализу движения возмущенной системы, который приведет нас к разработке аппарата асимптотического интегрирования на большом интервале времени. Существуют разные подходы к построению такого аппарата. Мы предпочтем так называемый стробоскопический метод из-за его простоты и наглядности.
Рассмотрим траектории z(Z, qQ) и x(t, q0) систем (1) и (3), стартующие из одной и той же точки q0. Через время T(qQ) траектория z(t, q0) возвратится в ту же самую точку q0, траектория x(t, q0) попадает в точку qv лежащую в 0(є)-окрестности q0. Однако нам нужно более точное соотношение:
Qi = x(T(q0), q0) = q0+tP(qQ) + 0(є2). (7)
В дальнейшем мы докажем его и опишем методы вычисления функции Р(q). Пока же примем это соотношение и достаточно естественное предположение о гладкости функции P(q). Обоснование (7) будет результатом не очень сложной теории малых возмущений на конечном интервале времени, равном только одному периоду T(q0).
Применим тот же аппарат, рассматривая траектории, стартующие в момент времени Z1 = T(q0) из точки qi (которая известна с точностью до 0(є2)). Траектория z(t — Z1, q{) через время T(qx) вернется в точку <7), а траектория x(t — Z1, ^1), являющаяся продолжением траектории x(t, q0), попадает в точку Q2 = x(T(qt), qt) = x(t2, q0), где Z2 == T(q0) + T(q{), и для нее имеем
Яг = Яі + ^p(Qi) + 0(г2).
Продолжая далее, получаем последовательность моментов времени Ik и положений возмущенной траектории qk = x(tk, q0), связанных соотношениями
Qi = Qo + ? -pO0) + 0(t2), Z1 = Z0 + T(q0),
Q2 = Qi + + 0(t2), t2=ti+T(ql), (8)
як+і = Як + ? p(Як) + °(E*). h+1 = 4 + rCяк)-
ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ
265
Рисунок 27 дает качественную иллюстрацию этой конструкции. Попробуем соединить точки gQ, qv ..., qk, ... некоторой плавной линией с/(т), ще т — пока просто параметр. Она «устроена» гораздо проще траектории x(t, q0) — их можно сравнить с прямой и спиралью соответственно.
