Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Итак, в каждой точке мы получаем систему п уравнений
G-(Z)X(Z) = P-(Z),
или G(Z) x(Z) = P(Z),
G+(Z) X(Z) = P+(Z),
где теперь G(Z) — матрица п-*п, P(Z) — n-вектор. Заметим, что IIP(Z)II = O(IIx(Z)II). Строки матрицы G, вообще говоря, ортонорми-
рованной системы не образуют, так как ее части G- и G+ получены независимо. Можно исправить и этот недостаток, если сначала решить задачу для G-(Z) и при ортогонализации векторов Ii, входящих в пра-
ЖЕСТКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
255
вые краевые условия, потребовать еще и ортогональности к строкам матрицы G-(T). Если краевая задача не вырождена, это требование выполняется.
В принципе при ортогонализации может возникнуть большая потеря точности, если пространства, натянутые на «правые» векторы
I1 (і = к + 1, к 4- 2, и), и строки G-(T) образуют очень малый
угол, хотя и остаются еще формально независимыми, т.е. дают в сумме все и-мерное пространство. Такая ситуация возникает тогда, когда исходная краевая задача почти вырождена, т.е. среди точек спектра однородной задачи к — Ax = Xx с однородными краевыми условиями (2) имеется точка, близкая к нулю.
Если нуль принадлежит спектру, краевая задача вырождена, теряются стандартные свойства существования и единственности решения. Такую задачу называют «задачей на спектре» (мы здесь ее не рассматриваем). Однако чем меньше по модулю ближайшее к нулю собственное значение спектральной задачи, тем хуже обусловлена исходная задача, тем больше постоянная С в оценке (4). Это почти очевидно.
Если y(i) — собственная функция (||у|| = 1), соответствующая малому собственному числу X, то функция x(t) = x(t) + y(t) удовлетворяет уравнению
X = Ax+ а, а = а+Ху, \\х — х|| = 0(1),
с малым возмущением 0(|Х|) правой части (х, очевидно, удовлетворяет невозмущенным краевым условиям). Таким образом, постоянная С в оценке (4) не может быть меньше 1/|Х|.
Что касается обоснования алгоритма, то оно пока носит качественный характер: при его реализации мы не имеем дела с решениями типа еи, как это было бы, если бы мы попытались решать задачу обычным методом «фундаментальных решений» (см. § 8). Однако полной ясности все-таки нет. He очень ясен механизм преодоления влияния большого параметра. Он как был в исходной задаче, так и остался в уравнениях (15), (16), в которых присутствует матрица А. В § 9 для простейшего случая было проведено достаточно полное исследование и, в частности, было обнаружено, что метод прогонки требует интегрирования задач Коши с большим параметром, но устойчивых. Здесь, видимо, механизм носит несколько иной характер.
Ниже в более, простой и прозрачной ситуации мы попробуем прояснить этот вопрос. Он состоит в следующем: как происходит накопление вычислительных погрешностей при численном решении задач Коши (15), (16) по стандартным схемам типа Рунге—Кутты, например? Ведь если ориентироваться на общие оценки, то для (15) имеем
256
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
(это тривиальная оценка, не учитывающая возможных тонких «компенсаций» больших величин при вычислении правой части
(15)). Как было сказано выше, выбор шага численного интегрирования г из условия считается здесь вполне приемле-
мым. Однако почему при оценке погрешности численного интегрирования не возникает стандартной и в общем случае неулуч-шаемой величины хРе^А^т (р — порядок аппроксимации), не очень понятно.
Тригонометрическая прогонка. Рассмотрим часто встречающуюся в приложениях задачу Штурма—Лиувилля
с краевыми условиями, которые запишем в удобной для дальнейшего форме:
где p(t), q(t), f(t), O1, а2, bv b2, T — заданные функции и числа.
Запишем (17), (18) в стандартной форме — в виде системы двух уравнений первого порядка; суть дела от этого не меняется. Обозначая X1 = у, X2 = ру (разумеется, предполагается p(t)>p0> 0), получаем систему
Краевые условия имеют стандартную форму с векторами Ii = (cos a j, sin а і). Алгоритм прогонки состоит в том, что соотношение, имеющее форму краевого условия, продолжается (в силу уравнения) на весь интервал [О, Г].
Рассмотрим «прогоночное соотношение слева»:
Для ф(г) и (3(ґ) имеем данные Коши: ip(0) = O1, P(O) = Ъх. Выведем уравнения для них, дифференцируя (20) по г и заменяя производные от л: из (19):
Преобразуем это выражение, используя (20) и исключая xlt х2.
-It Р(0ж + 9(0 m+/(0 ^0, O^t ^T, (17)
у(0) cos O1 + j(0) sin at = bt, t = 0,
y(T) cos a2 + y(T) sin Ct2 — b2, t = T,
(18)
X1 = X2Ip, X2= QX1 + f,
(19)
X1(I) COS 1р(г) + x2(t) sin ф(/) = P(t).
(20)
Jic1 COS ip — X1 sin ф ф + X2 sin Ip + X2 COS ip ф = p.
§ 18] ЖЕСТКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 257
Приводя подобные члены, имеем
X1 sin ф (д — ф) + X2 cos ip (Mp + ф) = р — / sin ф. (21)
Умножая выражение (21) на sin ф и вычитая из него (20), умно-
женное на (МрЛ- ф) cos ф, исключим члены с х2:
xMq- Ф) sin 2ф — (Mp+ ф) cos2 ф] =
= P sin ф — / sin2 ф — P(1 Ip + ф) COS ф.
Оно выполняется при любом Xi, если потребовать одновременного обращения в нуль коэффициента при Xi и свободного члена.
