Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1. Пусть известно полное решение z(t, q0) невозмущенного уравнения (1). Тоща решение уравнения в вариациях
3>= fz[z(t, q0)] у+R(t), у(0)=0, (16)
сводится к дифференцированию и взятию квадратур.
Доказательство. То, что z(t, q0) является полным решением задачи (1), означает выполнение тождеств (2а) и (26). Что касается решения линейной системы (16), то, как известно, нужно прежде всего иметь фундаментальную систему решений однородного уравнения — матрицу W(J), каждый столбец которой удовлетворя-
268 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч. II
нородному уравнению в вариациях, т.е. W должна быть решением уравнения
5 = /Jz(Z,<70)]W, Щ0)=Е. (17)
Утверждение I. W(Z) = zq(t, q0).
В самом деле, дифференцируя по Q0 тождество (2а), получаем (меняем порядки дифференцирования по Z и д0)
Yt ZqiU 0О) = /*lz(*> ^o)] Яо)-Дифференцируя по q тождество (26), имеем
V0'
Утверждение доказано: zq(t, q0) удовлетворяет уравнениям (17). Используя обозначение A(t) = fz[z(t, q0)], сформулируем следующее. утверждение.
Утверждение 2. Вектор-функция ^(z)=W(Z)a (где а — произвольный вектор) является решением задачи Коши г|) = A(t)гр, -ф(О) = а.
В самом деле, гр = vVa. Ho lIi = АЧ>; следовательно, мы имеем •ф = AWa = Ay. Кроме того, У(0) = W(O)Ci = а. Утверждение доказано.
Решение неоднородного уравнения (16) можно найти методом вариации произвольных постоянных. Ищем решение в виде y(t) = W(Z) a(t), где a(t) — подлежащая определению вектор-функция. Подставим эту конструкцию в (16): Wa + Wa = AWa + Л. В силу W = ^W имеем Wa = R, т.е.
a = W_1(Z) R(t).
Это уравнение интегрируется в квадратурах: t t
a(t) = ( W-‘(t) R(x) dx, y(t) = W(Z) ( W1(T) R(x) dx.
0 0
Подводя итог, получаем «явное» выражение для решения задачи (16): (
y(t) = zq(t> Qo) і z^H*, Q0) R(I) dx. (18)
о
Итак, мы рассмотрели проблемы, связанные с вычислением формального ряда Пуассона. Обсудим содержательный вопрос: что дает ряд Пуассона для описания траектории возмущенной системы? В частности, нельзя ли его использовать для оценки x(t, q0) на большом интервале времени?
§ 19] ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ 269
Оценка ряда Пуассона. Рассмотрим частичные суммы ряда Пуассона, опуская аргумент д0:
X0(t) = Xq(t) = z( 0 >
Xl(O=X0It) + ZX1(I),
x2(t)=X0(t) + zXi(t) + z2X2(t),
Оценим их уклонение от траектории x(t). Начнем с оценки x0(t)-x(t).
Теорема 2 . Решения систем уравнений
Xo = Z(X0)' X0(O) = Q0, к = f(x) + zF(x), х(0) = q0,
удовлетворяют неравенству r(t) = \\x(t) — x0(t)\\^ (B/C)ect, где С — константа Липшица функции /, В — оценка функции F: \\F(x)\\* В.
Будем предполагать, что условие Липшица и ограниченность F выполнены «всюду», хотя на самом деле достаточно потребовать этого лишь в некоторой окрестности множества точек х, пробегаемых траекторией x(t).
Доказательство. Вычитая уравнения для х и х0, получаем уравнение для их разности:
57 (х-х0) = f(x) - f(x0) + zF(x), (x-x0)\tm0 = 0.
Выпишем уравнение для r2(t) = (х — X0, х — х0):
2гг = 2(х -х0, х- х0) * 2||х - X0H ||х - х0|| ^
^ 2r{||/(x) - /(X0)H + ElI^(X)ID ^ 2r{C||x - X0H + zB}.
Итак, имеем оценку (дифференциальное неравенство) 'r Sg Cr + zB. Отсюда утверждение теоремы получается с помощью леммы, полезной и в других вопросах.
Лемма 1 (Гронуола). Если гладкая функция r(t) Ss О удовлетворяет неравенству г гё Cr + А (г(0) = 0), то r(t) гё (А/С)ес‘.
Доказательство. Введем функцию R(t) как решение дифференциального уравнения R= CR +A (R(O)=O). Очевидно,
R(t) = (A/C)(ect — I) sS (AJC)ect. Покажем, что r(t)*ZR(t). Это есть простое следствие (при r(t) = R(t)) соотношений
?[г(0-Л(0И0, [Г(0)-Д(0)] = 0.
Поэтому функция r(t) не может обогнать в росте R(t).
270
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Из доказанной теоремы следует, что траектории возмущенной и невозмущенной систем є-близки друг к другу. Ho крайне неприятный множитель ect ограничивает действие этого утверждения такими временами, для которых еС1« 1 /є. Это соотношение выполняется для любого / при достаточно малом є, однако (иев оценку входят «неравноправно» (є линейно, t экспоненциально). Поэтому полученная оценка теряет смысл при t = 0(1п е). Правда, она получена при очень грубой информации о функции /: используется только условие Липшица или, что более или менее то же самое, ограниченность ||/х||. В § 7 мы видели, что привлечение некоторых дополнительных свойств матрицы fх может существенно улучшить оценки подобного рода (см. ниже утверждение 8).
Перейдем к оценке первого приближения по ряду Пуассона, т.е. к оценке Hx1 — х||. Выпишем уравнение для X1 (t):
X1=X0 + ZX1 = /(X0) + е fx\z(t)]Xl + E F[z(t)\. Поскольку ZX1 = X1 — X0 = X1 — z, запишем уравнение в форме = Az) + /Z(z)(x, - z) + E F(z).
Уравнение x = f(x) + zF(x) для х после простых тождественных преобразований примет вид
X = /(х) + E F(x) = f(z + X — z) -I- E F(z + X — z) = /(z) +
+ fx(z)(x - z) + °(ll* — zII2) + ? Fiz) + ? Fz(z)(x - z) + 0(e3).
Здесь мы использовали уже доказанное (для конечного интервала времени) соотношение Il X — Z Il = О(е).
