Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Итак, следя не за всеми положениями точки x(t, q0), а «высвечивая» ее только в специальные дискретные моменты времени (это и есть стробоскопия), мы получаем существенно более простую кривую q(т), которая несет достаточную информацию о траектории x(t, q0). Вопрос в том: как найти кривую <?(х)? Внимательного взгляда на разностные соотношения (8) достаточно, чтобы возникла следующая догадка. Точки qk можно получить в процессе численного интегрирования (методом Эйлера с шагом є) дифференциального уравнения
^ = P(Q), Q(°) = Q0- (9)
Наличие «лишнего» слагаемого 0(г2) не принципиально. Точнее, если известно решение (9), введем на оси т сетку с шагом є и обозначим Qk = Q(tk), хк = кг. Тогда величины Qk будут удовлетворять разностным уравнениям
Qk+l = Qk + t P(Qk)+ о(г2) (10)
— тем же самым, что и уравнения (8) для qk (конечно, 0(е2) у них разные, но это не существенно).
Таким образом, кривую q(x) можно приближенно вычислить, интегрируя уравнение (9), именуемое уравнением в медленном времени. Однако нужно еще установить связь между «медленным временем» х и физическим временем t. Она следует из соотношений
хк+j = хк + є, tk+1 = tk + T(qk), к = 0, 1, 2, ...,
которые можно рассматривать как приближенное интегрирование дифференциального уравнения
? = 7ПЄ(т», CU)
т.е. грубо говоря, время т меняется В ?—1 раз медленнее времени t. Изменению медленного времени X на «шаг» є соответствует изменение физического времени на T(q) = 0(1). Следовательно, если будет установлена близость величин Qk и qk для к ^ є-1, то тем са-
мым, зная Q(x), мы получим информацию о траектории x(t, q0)
Рис. 27
266
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
за е— 1 периодов, т.е. за физическое время 0(є_1). По существу выше были изложены все основные идеи метода осреднения. Перейдем к их оформлению с технической стороны.
Элементарная теория малых возмущений. Начнем с теории, позволяющей рассчитывать движение возмущенной системы на ограниченном интервале времени. В этой теории используется малость возмущения и известное решение невозмущенной системы. Речь идет о стандартной в таких вопросах технике. Решение ищется в виде ряда Пуассона по степеням є:
x(t, q0) = X0(t, g0) + zX{(t, q0) + є2 X2(t, q0) + ..., (12)
где коэффициенты X0, X1, X2, ... подлежат определению.
Подставляя конструкцию (12) в уравнение х = Z + zF, имеем
X0+ ZX1 + Z1X2 + ... =
= f(X0+,zXl + z2X2+...)+zF(X0+zXl + z2X2+...). (13)
Разлагая правую часть (13) в ряд Тейлора, получаем
нях є дает последовательные уравнения (для є0, є1, є2 соответственно)
Начальные данные Коши к уравнениям (14) получены точно таким же образом из начальных данных
Мы не будем здесь расшифровывать формального выражения ZxxXlXl (Zjcjc — вектор, дифференцируемый дважды по вектору х). He будем выписывать и членов более высокого по є порядка. Это достаточно сложные выражения, в которых появляются fххх и т.п. Обратим внимание на специфику уравнений и опишем процедуру их решения.
Уравнение для функции X0 — это просто уравнение (1). Оно нелинейно, но мы предполагаем; что его решение нам известно.
X0 = f (X0),
Xl = Zx(X0)X^F(X0),
X0(O) — <7о> Ar1(O)=O, (14)
*2 = Zx(X0)X1 + ± Zxx(X0)XlX1 + Fx(X0)Xl, .X2(Q) = 0.
х(0) = X0(O) + z X1(O) + г2 X2(O) + ... = q0.
ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ
267
Итак, X0(t, q0) = z(t, q0). Следующее уравнение — это уравнение для определения X1. Оно является линейным неоднородным уравнением с переменными коэффициентами. Матрица fx(X0) может рассматриваться как известная функция от t. Ее точное значение есть A(t) = fx[z(t, <70)]. Правая часть этого уравнений — тоже известная функция времени F[z(t, <70)]. Таким образом, задача Коши однозначно определяет функцию X1 (t, q0).
Уравнение для X2(t, q0) имеет ту же структуру, что и уравнение для Xv отличаясь лишь правой частью. Ho после определения -Y0,
X1 (t) правая часть этого уравнения вычисляется и может считаться известной. Все последующие уравнения для коэффициентов формального ряда имеют одну и ту же структуру:
Xk = A{t)Xk + Rk(t), Xk(O)=O, (15)
где Rk — сложное выражение из производных /, F по х и функций X0(t), X1(I), ..., Xk_x(t).
Таким образом, функции X0, Xv X2, ... могут быть вычислены последовательно. Конечно, фактическое вычисление этих функций является сложным делом. Прежде всего мы сталкиваемся с резким возрастанием сложности аналитических выражений при последовательных дифференцированиях по х, причем сложность зависит от выбора переменных. Удачный их выбор может существенно упростить процедуру, и этому уделяли большое внимание классики небесной механики. В настоящее время проведение таких громоздких, но алгоритмически четко определенных выкладок все чаще поручается ЭВМ. Что касается решения уравнения (15), то эта проблема имеет достаточно эффективное решение.
Решение уравнения в вариациях. Теорема Пуанкаре. Последовательное решение цепочки уравнений (14), определяющей коэффициенты ряда Пуассона, в принципе является чисто технической задачей. Это следует из теоремы Пуанкаре.
