Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Итак, мы имеем
X1= f(z) -I- Iz(Z)^Xi - z) -I- E F(z), X1(O) = q0,
x = f(z) + fz(z)(x — z) + є F(z) + °(?2)-
Эти два уравнения отличаются друг от друга наличием члена 0(Z2) во втором. Применяя те же оценки, что и при доказательстве предыдущей теоремы, получаем аналогичную оценку:
||Xj(0 — x(0ll ^ect 0(E2).
Здесь постоянная Липшица (по переменным типа х, X1) правой части относится к линейной правой части, т.е. по существу совпадает с ||/ж(г)||. Разумеется, мы неявно использовали предположение о гладкости функций большей, чем этого требовала теорема 2.
Тем же способом можно доказать теоремы об 0(е3)-точности второго приближения X2(I) и т.д. Так как мы предполагаем исполь-
§ 19]
ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ
271
зовать несколько членов ряда Пуассона только на интервале времени, равном одному периоду, множитель ect нас не стеснит, и мы ограничимся этими сравнительно грубыми оценками.
Подведем итог. Для приближенного решения возмущенной системы
X = f(x) + г F(x), x(t0) = q,
может быть построен формальный ряд Пуассона
z(t — tо, q) + ?*,(*- Z0, q) + ?2 X2(t- Z0, q) + ...,
частичные суммы которого приближают x(t) (при соответствующих требованиях к гладкости / и F) с точностью О(є), 0(є2), ... Нас интересует смещение за период T(q).
Запишем формальный ряд:
x(T(q), q) = z(T(q), q) + є Xl(Tiq), Q) + e2 X2(T(q), q) + ...
Вводя обозначение P t(q) = X t(T (q), q), получаем используемую в дальнейшем формулу
x(T(q), q) =q + є P{(q) + є2 P2(q) + є3 P3(q) + ...
Обрывая ее на каком-то члене, имеем формулу соответствующей точности.
«Остаток» ряда Пуассона заменим выражением 0(гк), считая, что эта величина равномерно (во всем интересующем нас диапазоне изменения q) оценивается следующим образом:
ЦО(е*)|| sS Ck Zk.
Равномерность приведенной оценки является, конечно, следствием равномерности оценок тех или иных производных функций /, F. Эту сторону проблемы мы не будем оформлять с должной строгостью, но о ней все-таки стоит помнить.
Полученные для ряда Пуассона оценки не позволяют применить его для расчета влияния возмущения на больших временах. Подобные оценки сверху, как неоднократно подчеркивалось, грубы, они получены без использования конкретных свойств /(z). Ho, может быть, более аккуратные оценки привели бы к другим выводам, тем более что в рассматриваемой ситуации есть принципиальные доводы в пользу обязательного наличия у fz определенных положительных свойств? Имеется в виду следующее. Предположение о периодичности траекторий невозмущенной системы есть свойство, близкое по существу к нейтральности системы, т.е. к неотрицательности матрицы
Re /Z(z) = 0.5(/, + /;).
272 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч. И
(Из этого в § 7 удалось получить в аналогичном вопросе ослабление влияния экспоненциального множителя в оценке.)
Тем не менее ряд Пуассона для расчета на далекие времена не годится. Это следует, в частности, из простых примеров. Так, для системы
X = у, у=— Х + ЄХ3, х(0) = а, з>(0)=0, ряд Пуассона в первом приближении дает
X1(I) = a cos t — I га3( sin ( Ч- га3 cos 3t.
Слагаемое (3/8)e<Asin* при ґ = 0(є~') есть 0(1), что противоречит известному интегралу энергии
0.5 у2 + 0.5х2 + 0.2 5гх* = const = 0.5а2 + 0.25 м4.
Содержащие степени t члены ряда Пауссона типичны. Они сильно снижали ценность этого аппарата в небесной механике, где получили специальное название «секулярные» члены (т.е. «вековые», влияние которых растет с ростом времени). Борьба с такими членами в конце концов привела к разработке методов осреднения.
Теперь мы имеем в своем распоряжении технический аппарат, с помощью которого можно обосновать стробоскопический метод.
Обоснование стробоскопического метода. Для исследования возмущенного движения рассмотрим моменты t0, tv I2, ... стробоскопии и положения системы в эти моменты времени
<7о> 01 = *(*i> 0о)’ 02= х(*2' Qq)'
Эти величины связаны соотношениями (ограничимся пока самым грубым приближением)
^ + 1 = ^ + 8^(^)-1-0(82).
Вводя уравнение в медленном времени:
dQ/dx = P1(Q), Q(O) = Q0,
приходим к разностным соотношениям для Qk = Q(Ice):
Qt+i = Qk + ? Pi(Qt) + O(Si)
(разумеется, при соответствующей гладкости P1).
Итак, для величин qk и Qk мы имеем разностные уравнения, отличающиеся друг от друга только членами 0(є2). Из теорем об устойчивости разностных уравнений (см. § 7) получаем следующие утверждения.
§ 19] ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ 273
Утверждение 3. Пусть WdPlIdQW ^ С и є С < 1. Тогда имеем оценку HQk — qk\\ « 0(z)eckt.
Эта оценка имеет ценность при к = 0(z~l).
Утверждение 4. Пусть матрица Re(OPlIdQ) — а2< 0. Тогда Il Qk — <7*11 ^ ^(?) ПРИ всех * > 0.
Иными словами, если траектория Q(x) уравнения в медленном времени асимптотически устойчива, аппарат осреднения работает при всех t > 0.
Перейдем к более точным (по є) вариантам теории. Используем два члена ряда Пуассона. При этом разностные соотношения для qk примут форму
Як+і = + ? pI(Як) + г2рі(я) + °(?3)-
