Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
X0=Ct0X0 + P0, Т.е. X0 = P0Z(I-Ct0).
Остальные значения х„ найдем по формуле х„ = апх0 + р„. у*
260 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч. II
Пятиточечная прогонка. Опишем алгоритм решения системы уравнений с пятидиагональной матрицей. Такие системы возникают при численном решении разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу для уравнения четвертого порядка:
+ ,(*)=/, О^Г,
X(O)=A0, X(O)=B0, X(T) = Ai, X(T) = Bi.
Ограничимся этой простейшей задачей. Вводя сетку, аппроксимируем уравнение разностным:
j; (хп_2 - 4хп_, + 6хп - 4хп+1 + хп+2) +
+ Рп(Хп-1 “ 2хп + хп+1) + ЯпХп = fn>
п = 2, 3, ...,N-2, h = T/N.
Краевые условия аппроксимируем самым простым способом:
X0 = A0, X1 X0= hB0, xN = Ai, xN xn_{ = HBi.
Придадим системе уравнений стандартную пятидиагональную форму:
cOxO ~ ^oxI + еохг — f о’
-Vo + cixi - d\xi + е\хъ = fv
апХп-2“ bnXn-1 + cnxn~dnxn +1 + ^пХп+2 =/„> aN-lXN-i bN_ixN_2 + cAf-IxA^-I dS-IxN = f N-V aNXN-2 — ^NxN-I + cNxN ~ f N
(и S= 2, 3, ..., JV-2). Формулы для коэффициентов системы очевидны. Прогоночное соотношение имеет вид
Xn-l=PnXn+RnXn + l + Qn-
После несложных преобразований первые два уравнения (левые краевые условия) дают стартовые значения прогоночных коэффициентов (Р, R, Q){ и (Р, R, Q)2. Стандартный вывод рекуррентных соотношений для прогоночных коэффициентов проводится в предположении, что в процессе прямой прошнки (слева-направо) коэффициенты (Р, R, ©„_! и (Р, R, 2 (и все предшествующие) уже найдены. С их помощью из стандартного и-го уравнения можно исключить хп_2 и хп_1 и получить связь между хп, х„+1, хп+2, которая разрешается относительно хп.
§ 19
ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ
261 ,
Несложные преобразования дают рекуррентные формулы: ^tl aIlfiIl-I' сп + ап^п-1’ І П in anQn
Ilj It-P
Hrt— 11
nvlrt-l’
Эта операция продолжается стандартно до значения п = N — 2, т.е. последнее прогоночное соотношение имеет вид
Вместе с двумя последними уравнениями (правыми краевыми условиями) оно дает нам три линейных уравнения с тремя неизвестными Хдг_2, Хдг-1, xN. Решив эту систему, процессом «обратной прогонки» мы вычислим все хп последовательно справа-налево.
Предоставим читателю в качестве полезного упражнения внести необходимые изменения в том случае, когда краевые условия заданы с использованием вторых и третьих производных. Несколько больших изменений требует алгоритм в том случае, когда на одном конце задано одно краевое условие, на другом — три.
§19. Осреднение быстрых вращений
Рассмотрим важный в приложениях метод интегрирования специального класса обыкновенных дифференциальных уравнений. Приложения его столь разнообразны, что имеет смысл начать с абстрактной постановки задачи. Пусть имеется система уравнений
описывающая некоторое физическое явление «в главном» (факторами, мало влияющими на эволюцию системы, пренебрегаем). Известно общее решение — функция z(t, q0) (точнее, вектор-функция, но размерность z в дальнейшее явно входить не будет).
И наконец (это существенное предположение, выделяющее узкий, но важный класс задач), пусть все траектории (1) периодичны с периодом Т(д0), своим на каждой траектории. Итак, нам известна функция z(t, qQ), удовлетворяющая соотношениям
XN-2 ~~ ^N-IxN-I + f^N-IxN Qat-1'
z = f(z), z(0) = q0, t> О,
(I)
а) zt(t, q0) = f{z(t, <?0)], V t, <?0,
б) z(0, q0) = q0, V qQ,
B) Z(^'(^o)’ %) = ^0’ ^ «0*
(2)
262
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Если бы начальные данные были заданы в момент t0, общим решением (в силу независимости / от t) была бы функция z(t — t0, q0). Систему (1) будем называть «невозмущенной», ее решение — «невозмущенной траекторией».
Пусть более полное описание явления, учитывающее влияние малых сил, приводит к системе, именуемой в дальнейшем «возмущенной»:
х = /(х) + zF(x), X(O) = Q0, ?<cl. (3)
Нас интересует это более адекватное действительности описание явления. Здесь є — малый параметр, функции /, F, T будем считать «гладкими», т.е, они сами и их используемые в выкладках производные суть величины O(I) (без этой оговорки предположение t« 1 не имело бы смысла). Система (3) не имеет явного решения и возникает вопрос: нельзя ли узнать что-либо о траектории (3), используя ер близость к «интегрируемой» системе (1)?
Если нас интересует ограниченный отрезок времени (например, три-пять периодов), ответ очевиден и ничего интересного в задаче нет. Из общего курса дифференциальных уравнений известна теорема о непрерывности решения задачи Коши по правой части, т.е. x(t, Qq) — 2((’ %) + О(є). (Для этого периодичность z не нужна.) Ho что произойдет за «большой» интервал времени? Как «накопятся» последствия малого возмущения є F(x) за время порядка 1 /є? Здесь очевидного ответа нет. Изложенная ниже достаточно сложная теория позволяет производить соответствующие расчеты.
Речь идет о теории малых возмущений на больших временах. В задаче имеется малый параметр е и большой параметр t — время процесса 0(1/є). Именно это последнее обстоятельство определяет нетривиальный характер проблемы, решение которой удается продвинуть за счет использования важного свойства невозмущенной системы (1) — периодичности всех ее траекторий. Что касается «согласованности» параметров є и t« 0( 1/е) , то она связана не с существом задачи, а просто стем, что удается построить аппарат решения задачи (3), работающий эффективно именно на временах 0(1/г). В частных случаях
