Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение в медленном времени следует уточнить таким образом, чтобы аналогичное соотношение для его решения (а это просто отрезок ряда Тейлора) давало тоже самое разностное соотношение с
точностью до 0(є3). Естественно взять это уравнение в виде
^ = P1(Q)+ г Jt(Q),
где R(Q) — подлежащая определению поправка.
Разложение Q(kz + є) в ряд Тейлора по ? дает
<b.,-ft + ‘$ + T$ + °('s) =
2 Qp
= Qk + е [Pl(Qk) + є R(Qk)] +^1Ipi(Qk) + 0(є3). Здесь мы использовали соотношения
Qx = Pl + zR, Qxt = ^ [P1(Q) + z R(Q)] ^ =dIl P1(Q) + O(Z).
Совпадение разностных уравнений для qk и Qk с точностью до 0(е3) будет обеспечено при
R( Q) + 5? Pi(Q) = Pi(Q)-
Итак, получено уравнение в медленном времени, имеющее второй порядок точкости:
pI(Q)-V-^ pi(Q) •
Относительно связи qk с Qk при использовании решения этого уравнения можно высказать утверждения, аналогичные утверждениям 1
274
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
и 2 с заменой в них О(е) на 0(є2). Кроме того, справедливо следующее специальное утверждение.
Утверждение 5. Пусть матрица Re(SPlIdQ) <0. Тогда имеет
место оценка 11? -QkW sS О(г) еСк*. С потерей одного порядка в є оценка сохраняет смысл для к = 0(е-2), т.е. на отрезках физического времени длиной 0(е-2). Это утверждение следует из теоремы
об устойчивости разностных схем (см. § 7). Строго говоря, прямое их применение потребовало бы предположения неположительности
а
матрицы Re (P1 + ZR), но почти очевидная модификация доказательства дозволяет формулировать предположение в терминах только Pi(Q).
Аналогичным образом можно строить уравнения в медленном времени и последующих порядков. Они повышают точность аппарата по е, но не снимают ограничений времени, на котором он работает (0(е-1) в общем случае). Возможность распространения оценок на большие времена существенно связана с характером получившегося уравнения в медленном времени. Играет роль и его конкретная траектория. В общем случае это уравнение нелинейно и свойства матрицы QPlZdQ могут быть разными в окрестности разных траекторий.
Что дает решение уравнения в медленном времени? Предположим, что уравнения (9) и (11) проинтегрированы и известны функции Q(т), Z(t), x(t). Пусть задан момент физического времени і. Что можно сказать о точке x(t, q0)? He претендуя на строгость, можно сформулировать такой ответ. Вычислим x(t) и период T ¦= T[Q(x(t))\. Тоща в момент физического времени t', лежащий где-то на интервале \t'— ґ(х)| < 772, точка x(t',q0) попадает в 0{ є)-окрестность точки Q(x(t)). Этой информации часто бывает достаточно для физических приложений. Иначе можно сказать и так. Если не обращать внимания на величины О(є), то точка Q(t(z)) определяет положение x(t, q0) «с точностью до положения на орбите невозмущенного движения, проходящей через точку Q(x(t))».
С вычислительной точки зрения основное преимущество перехода от описания траектории исходным уравнением к = / + zF к описанию уравнением в медленном времени Qx = P1(Q) состоит в том, что траектория Q(t) является гладкой относительно интервалов физического времени тем больших периода невозмущенного движения, чем меньше є. Численное интегрирование уравнения для Q может осуществляться шагом, не зависящим от є и включающим в себя сразу много периодов физического времени.
ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ
275
Что касается термина «осреднение быстрых вращений», то он связан с характером вычисления функции P1(Q) по формуле Пуанкаре:
T(q)
pi(q) = \ zq(T(q)> я) q) F[z(t, ?)] dt,
о
т.е. P1 получается специфическим осреднением возмущения F вдоль траектории невозмущенного движения за его период. В сложных задачах P1 (q) может определяться приближенным интегрированием на интервале времени T(q).
Выбор медленных переменных. Роль периодичности невозмущенного движения. Изложенная выше теория, приводящая к уравнениям в медленном времени, основана на следующих важных свойствах рассматриваемой задачи.
1. Рассматривается влияние малых возмущений на систему, невозмущенное движение которой считается известным.
2. В случае, когда z(t — t0, q) — периодическое при всех q движение, удается найти «медленные» переменные, т.е. величины, которые на траектории x(t) за период Т(д) изменяются на величины O(E).
Однако роль периодичности невозмущенного движения этим не исчерпывается. Покажем, что медленные переменные всегда есть и их выбор более или менее очевиден (для этого периодичность Z не нужна). Существенно то, что периодичность z позволяет построить уравнения для медленных переменных, сформулированные в терминах тех же самых медленных переменных, т.е. уравнения в медленном времени оказываются «замкнутыми».
Посмотрим, как далеко можно продвинуться по этому пути, не используя периодичности. Ради простоты мы фиксируем t0 = 0. Общее решение системы (2) будем писать в виде z(t, q). Итак, первый вопрос: существуют ли медленные переменные в системе (3) и каковы они? Точный смысл этого вопроса: можно ли найти замену переменных у= Y(x), в результате которой систему (1) удастся записать в виде у = г R(y)7 Ответ почти очевиден. В качестве «медленных переменных» нужно взять величины, которые на траектории невозмущенной системы остаются постоянными, т.е. любую полную систему первых интегралов системы (1). Таковыми, в частности, являются величины ^0.
