Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Итак, нужно перейти от переменных (t, х) к переменным (t, q). Что это значит? Очевидно, осью t в новой системе координат (т.е. линий q = const) будет траектория z(t, q). Для того чтобы точке (t, л:) сопоставить точку (t, q), нужно проинтегрировать систему Z = / с начальными данными z(t) = х в обратном направлении (от
276
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
t до нуля), тогда требующееся значение q = z(0). Этим алгоритмом и определяется отображение (t, х) -* (t, q). В исходной системе координат траектория x(t) возмущенной системы меняется сильно (так же как и z(t)), а в системе координат (t, q) — медленно. Хотя такая замена переменных кажется не очень эффективной, на самом деле все не так уж сложно, если (это очень существенно!) нам известно общее решение z(t, q).
Нетрудно понять, что если мы станем искать решение возмущенной системы в виде x(t) = z(t, q(t)), то q(t) будут меняться медленно. Получим уравнение для эволюции q(t). Подставляя х в уравнение (3), имеем
zAi' ?(0) + zq{*> ?(0) <7 = f\z(U ?(0)] + е F[z(t, ?(0)]-
Ho zt = /; следовательно,
Q= ? ?(0) F(z(t, q(t)). (19)
Итак, мы получили (не используя предположения о периодичности z) уравнение для медленно меняющихся переменных. Эта процедура носит название «метод вариации произвольных постоянных». Осталось ввести медленное время т = е/ и записать систему (19) в виде qx = ^(q, т/є). Наличие в 9“ зависимости от «быстрого» переменного x/є существенно осложняет дело.
Рассмотрим процедуру численного интегрирования уравнения (19) с малым шагом А (при этом dt — A/є может быть очень большим!):
т+Д
q(x -I- A) = q(x) + J ^lq(x'), т'/є] dx’.
X
Упростим эту формулу, заменив ее приближенной. Воспользуемся тем, что на интервале [т, т + А] величина q изменяется на О(А); поэтому
т+Д
q(х + A) = q(т) + J &>[q(т), т'/є] dx' + 0(А2),
X
ИЛИ
q(т -I- A) = q(т) + AP(q(x)) + O(A2)t
где
і +Д
t/?) dx'>
X
т.е. функция P(q) получена операцией усреднения по явно входящему времени функции &(q, t). .
ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ
277
Вышеприведенные выкладки приводят к уравнению в медленном времени в том случае, если существует не зависящий от т и Д предел
1 , Т+А
Р(д) = Iim
?-0
i- \<?{q,x/t)d%'
Л
X
(20)
В этом случае мы получаем уравнение в медленном времени, содержащее только медленно меняющиеся переменные: qx — P(q). Существование предела (20) типично при периодической или почти периодической зависимости д°{q, t) от t. Ho согласно (19) функция
&{q, t) = z~l(t, q) F(z(t, q)). Отсюда ясно, какую роль играет периодичность невозмущенного движения в получении замкнутых уравнений в медленном времени.
Простейшая двухчастотная задача. До сих пор мы изучали наиболее простой случай, когда в невозмущенной системе был только один, общий для всех компонент, период T(q). Как отмечалось, наличие в задаче разных периодов (хотя бы двух) сильно осложняет ситуацию. Некоторое представление об этом даст следующий анализ.
Рассмотрим задачу о малом возмущении периодического движения периодической силой. Имеется невозмущенная система (1) и ее общее решение z(t — t0,q0), периодическое с периодом T(q0). Предположим, что возмущенная система описывается уравнением х = f(x) + є F(x, t). Возмущающую силу F будем считать л-периодической по t (период силы постоянен).
Окрестность точки резонанса. Пусть в некоторой окрестности точки q0 имеет место «почти резонанс». Существуют некоторые, не очень большие целые числа тип, такие, что п T(q) — тл = кі(^). При этом «рассогласование» г|(^) мало в окрестности q0, т.е.
I rI(^)I я. Это может быть величина, сравнимая с є или Vt, — в зависимости от этого теория движения «в медленном времени» будет иметь ту или иную точность.
Можно построить ряд Пуассона, позволяющий рассчитывать возмущенное движение на конечном отрезке времени (период или несколько периодов). Если мы непосредственно используем стробоскопический метод (первого порядка точности, для простоты), то ничего хорошего не получится. Прежде всего заметим, что члены ряда Пуассона теперь надо обозначить ^0’ 0О), так как в возмущенную систему явно входит время.
Рассмотрим последовательность моментов tk стробоскопии и положений x(t) в эти моменты:
Як+1 — Як + є X1 (tk + Tk, tk, qk) + 0(є2), tk+l — tk + Tk,
278 ’ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
где Tk = T(qk), Qk = x(tk). Эти разностные соотношения, однако, нельзя рассматривать как процедуру приближенного интегрирования некоторой системы дифференциальных уравнений «в медленном времени» (считая є шагом интегрирования). Дело в том, что аргументы tk + Tk, tk за один шаг меняются на 0(1); такого же порядка, следовательно, и изменение X1 за один шаг. Если бы система была точно резонансной (к] = 0), то мы имели бы одночастотный случай: нужно только рассматривать «большой» период пТ = як. Это замечание подсказывает и путь анализа «почти резонансной» ситуации: надо использовать стробоскопический метод с таким большим периодом.