Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эйнштейн А. -> "Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1" -> 95

Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 — М.: Наука, 1965. — 702 c.
Скачать (прямая ссылка): sobranienauchnihtrudovt11965.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 263 >> Следующая

без дифференциальных тензоров, полученных в общей теории, стала бы
очевидной. Как показано в физической части настоящей работы, мы пока что
не можем дать однозначное решение этой проблемы35.
3. К выводу уравнений гравитационного поля
Вывод уравнений гравитационного поля, данный Эйнштейном, ниже излагается
во всех подробностях.
Мы исходим из баланса энергии в следующем почти очевидном виде
u=y^J_(y~ ?V) ...
"Гц. 9х° дх* ^ ^ дх"' (47)
и производим интегрирование по частям 36. Таким образом, получаем:
>[XV
"Вц. "*" ' "ВЦ. ^ ду* дх°дх"
Первая из сумм, стоящих в правой части последнего равенства, имеет нужный
нам вид суммы производных и мы будем обозначать ее через А:
aPixv " 4 Р a '
Вторую сумму, стоящую в правой части, мы снова проинтегрируем по частям.
Тогда тождество принимает вид:
aPtxv 0 Р a ' aPjj-v a a ' P '
Первую сумму, полученную в правой части, запишем в виде сумхы
дифференциалов и обозначим через В:
в- 2-4(-К?Г"в^^)- (49)
aPixv a 4 0a'
Во второй сумме выполним дифференцирование. Тогда получим
v = Л-В+ У, ^(г +
^ дхп \*"3 дхп дхп (r) дх* дх" ° *(r)0 dxRdxn /
a0p.v a 4 0 a 0o 0 о'
или, после применения формулы (29) из § 2 ко второму слагаемому и
35 Ср. по этому поводу конец статьи 25, где Эйнштейн отказывается от
части аргументов.- Прим. ред.
86 Вывод искомого тождества упрощается, если мы введем множитель у g пгд
знак дифференцирования, что никак не влияет на результат.
203
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
интегрирования третьего слагаемого по частям,
т1 = А-в+ 2 г i!<*_
a?ti* ^ дХ" дХ1> 2 "
_ 2 VI.. ?V т т 2 -fr?r
"ИМ* 8a:"- a*f,k ax° dxAdx" 6xP
_ 2 ^~(Vgr !%
дпп Anr*. \ * О I с
dx" дха V 6 1 "3 dxo a^ixv a f) ' о
Обе первые суммы имеют вид членов, написанных нами в левой части нашего
тождества. Обозначим их через
17 1 v dgik 1/- *^VV /ГА\
г=2 2 ^-Ггг^Та^--^--- ГО)
afovik a " р
W- s -^-Vgr Т --gtxv • (51)
^ дх" у b 'ai'Pft dx ' 9х" 'О
a a р
Третья сумма в правой части имеет вид суммы производных; исклю-
ду
чая из нее-тр^-с помощью формулы (29), получаем уже введенную нами
OXq
ду
величину А. Наконец, в последней сумме заменим величину ее выражением по
формуле (29). Таким образом, получим
U-V + W = 2A-B + 2 Тл"#а5г(К*Г.
- дх_ дха \ ь cl& дх"
a^vik a Р
>ixv
ИЛИ
afavik a -25 v -t
_ V dIi!L^A11/F.r -(Г Г )•
^ дх" дх" Г b 1 dxR '1 И * v/4 afavik a a p
В силу тождества
2т т
fi i* v* dx" d*a
первая из этих сумм сводится к
V dgik д (д^гк ^
21 Проект обобщенной теории относительности и теории
тяготения
Благодаря взаимозаменяемости значков i и к, р, и v вторую из этих сумм
можно записать в виде
2* =2 3
OL$\>М/С 3 а Р
дУщ drAv
= _2 У, . V7r в __________________
^ дх (r) 'а$(r)цу дх" дхп
ocflnvifc 3 а 3
Следовательно, искомое тождество гласит
2U - F + W + 2Х = 2А - 5 и, таким образом, совпадает с тождеством,
указанным в § 5 части Г.
Примечания (к Физической части)
К § 5 и 6. При написании данной работы мы считали недостатком теории то,
что для гравитационного поля нам не удалось найти общекова-риантные
уравнения, т. е. ковариантные относительно произвольных преобразований.
Впоследствии же я обнаружил, что уравнения, однозначно определяющие по (c)^
и в то же время общековариантные, вообще не могут существовать;
доказательство этого следует ниже.
Пусть в четырехмерном многообразии имеется область L, в которой
отсутствует "материальный процесс", т. е. (c)^ равны нулю. По нашему
предположению, значения (c)^ вне L полностью определяют всюду и,
следовательно, внутри L. Представим теперь, что вместо первоначальных
координат xv введены новые координаты хv следующим образом. Вне L всюду
; однако внутри L и, по крайней мере, в части области L
и хотя бы для одного индекса v =j= xv. Ясно, что таким преобразованием
можно добиться того, что хотя бы в части L =f= С другой стороны, (c)!i.v =
(c)txv всюду, как вне L, где х^ = xv, так и внутри L, где @( v =0 = = (c)^-
Отсюда следует, что если в рассмотренном случае считать допустимыми все
преобразования, то одной системе (c)и соответствует больше чем одна система
Следовательно, если - как это делается в нашей работе - придерживаться
требования, чтобы (c)^ полностью определяли значения то приходится
ограничить выбор систем отсчета. В нашей работе это ограничение
достигается благодаря тому, что постулируется соблюдение законов
сохранения, т. е. выполнимость соотношений типа (19) для материального
процесса и гравитационного поля вместе взятых. Именно из этого постулата
в § 5 выведены уравнения (18) гравитационного поля.
Соотношения (19) ковариантны относительно только линейных преобразований,
так что в развитой выше теории допустимыми следует
265
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
считать только линейные преобразования. Поэтому координатные оси таких
систем можно назвать "прямыми", координатные плоскости - "плоскостями".
Весьма примечательно, что законы сохранения позволяют Дать физическое
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed