Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
grs~ 2 PprPvsgp-V (4)
[J.V
Пусть g есть дискриминант дифференциальной формы (1), т. е. определитель
g = I SW |.
Если обозначить через деленный на дискриминант ("нормированный") минор g,
сопряженный элементу g^v, то эти величины преобразуются по формулам
Trs - 2 (^)"
H-v
Теперь введем следующие определения.
I. Совокупность функций 7,г1г2...гх от переменных х называется ко-
вариантным тензором ранга X, если эти функции преобразуются па формулам
Trlr2...rx = 2 PiiriPi2r2 • • • Р1\Г)(r)ЦЦ..Лу ^
hh-.-rx
2Ш
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
II. Совокупность функций (c)у*...^ от переменных х называется кон-
травариантным тензором ранга X, если эти функции преобразуются по
формулам22
= 2 ^iir^i2r2 • • • (7)
III. Совокупность функций i^k,... ^ от переменных х назы-
вается смешанным тензором, ковариантным ранга ц, контравариантным ранга
v, если эти функции преобразуются по формулам
^ rlr2...riii\sis2,..sv - 2 PUnPUrt • • • Pipr^'^kisflkiSi • • •
^¦kvsv'^-'ilU...i^\klk2...k^ .
(8)
Из определений и формул преобразований (4) и (5) следует:
величины g^v образуют ковариантный, а величины - контрава-риантный тензор
второго ранга; при п = 4 они образуют фундаментальные тензоры
гравитационного поля.
Величины dxi, преобразующиеся согласно формулам (3), образуют
контраварйантный тензор первого ранга. Тензоры первого ранга называются
также векторами первого рода или 4-векторами при п - 4.
Непосредственно из определения тензоров получаются следующие
алгебраические тензорные операции:
1. Сумма двух однородных тензоров ранга X есть также однородный тензор
ранга X, составляющие которого получаются сложением соответствующих
компонент обоих тензоров.
2. Внешнее произведение двух ковариантных (контравариантных) тензоров
ранга X или р, есть ковариантный (контраварйантный) тензор ранга X + р с
компонентами
/Pili2...i)k1k2...k^ = (9)
или
(c)гД2...гЛЛ-1/г2...А-[А = ФгД,...^ Х?')с1к2...к[1' (9 )
22 Таким образом, наши ковариантные (контравариантные) тензоры ранга X
тождественны "ковариантным (контравариантным) системам порядка Ъ> Риччи и
Леви-Чивиты, которые обозначаются этими авторами г или хГ1Гг"'Гх.
Хотя
эти обозначения имеют большие преимущества, мы все же оказались
вынужденными, ввиду сложности составляемых уравнений, выбрать свои
обозначения, а именно: обозначать ковариантные тензоры латинскими,
контравариантные - греческими, смешанные - готическими буквами.
Ковариантные и контравариантные тензоры представляют собой частные случаи
смешанных тензоров.
250
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготений
3. Внутренним произведением двух тензоров мы назовем
а) ковариантный тензор
^iiig.-.tX " ' J ? (1^)
frl/l*2* ••ftp,
б) контравариантный тензор
(r)ii = 2 Akikf.kp (11)
в) смешанный тензор
'^'ОГг.-.Гц |sjs*...sv = 2
¦^•/fiA:2...A:x?'ir2...r[x(l)/t'ifr!...A'xsis2---sv, (^)
fcifr2.../fx
ИЛИ
г) более общий случай тензора, охватывающий все случаи "а" - "в"
S'r1r2...rliM1Mj...ua|s1s2...svr1t)2...t5|g = 2
2fr1r2...rlJl|Jr1*!...frx(r)i"V--(r)j3 X
kik2.,.k-^ X ^k1ki...kf,uiu2...ua\s1s2.,.sv'
Термины "внешнее и внутреннее произведение", взятые из обычного
векторного анализа, оправдываются тем, что операции векторного анализа
являются частными случаями операций, рассмотренных выше.
Если в случаях "а" или "б" ранг X равен нулю, то внутреннее произведение
будет скаляром.
4. Взаимность ковариантного и контравариантного тензора. Образуем из
ковариантного тензора ранга X обратный контравариантный тензор ранга X
посредством Х-кратного внутреннего умножения на контравариантный
фундаментальный тензор
Oiii2...ix = 2 ТгЛТгЛ • • • (^)
к,к ,...*х
Отсюда следует
Т^.Лу - 2 8Ukigi2kt • • • Eixk-fik^.-.k^ (^)
kik2... А'х
Следовательно, из тензора можно образовать скаляр, умножая его на
обратный тензор по формуле
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
Ковариантный (контраварйантный) тензор первого ранга (4-вектор при п = 4)
имеет инвариант
2 YikTiTjc ik
ИЛИ
2 gik(r)&k.
ik
В обычной теории относительности контравариантность и ковариантность
тождественны, и этот инвариант равен квадрату длины 4-вектора
Т1 + Т\ + 71 + ТЬ
Ковариантный (контраварйантный) тензор второго ранга имеет инвариант
2 YikTik ik
или
2 gik(r)ik, ik
который в случае обычной теории относительности имеет вид 23
Т XX + Т уу Т ZZ + Т it.
§ 2. Дифференциальные операции над тензорами
Введем следующие общие определения.
I. Расширением ковариантного (контравйриантного) тензора ранга к
называется ковариантный (контраварйантный) тензор ранга к + 1, получаемый
из первоначального тензора "ковариантным (контравариантным)
дифференцированием".
Согласно Кристоффелю,
ВТ
^ пгг...гх m
'г,г,...гхs- дХ' Z] Ц к \ 7\г,...гх +
+ { к } Тг'*-г\ +•••+{ I } Т'г.г,...*) (16)
23 В дальнейшем мы не будем указывать, какой вид принимают наши формулы в
случае обычной теории относительности, и лишь сошлемся на работы 4-6.
