Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
условиям:
27 К такому же результату пришел Коттл ер (см. цитированную выше работу),
который исходил из специального тензора третьего ранга (ср. ниже с § 4) и
применил теорию интегральных форм.
По современной терминологии - полностью антисимметричным.- Прим. ред.
256
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1- Уг,г*...гх - 0" если какие-нибудь два из индексов равны между собой.
2. Если индексы гг, г2, . . . гх и s2, . . . s>. отличаются только
порядком, то ТГ1гг...гх ~ ± TSlS2...Sx в зависимости от того, принадлежат
г15 г2, . . . гх и s2, . . . sx одному классу перестановок или нет. Как
известно, две перестановки принадлежат одному классу, если они обе
получаются из основной перестановки 1, 2 . . . п четным или нечетным
числом перестановок двух индексов.
Таким образом, число линейно независимых компонент специального
тензора ранга X равно
В силу этих свойств теория специальных тензоров оказывается более
простой, но в то же время и более содержательной, чем теория общих
тензоров; особое значение она имеет для математической физики, так как
теорию векторов ранга X (4-, 6-векторов при п - 4) можно свести к теории
специальных тензоров ранга X. С точки зрения общей теории более
целесообразно исходить из тензоров, а векторы рассматривать лишь как
специальные тензоры.
Для векторного анализа п-мерного многообразия
ds2 = J] dxy. dxv
важную роль играет тензор ранга п, связанный с дискриминантом линейного
элемента29. Этот дискриминант преобразуется по уравнению
8' = Р28. (36)
где
дх.
Р = I Pik I = '
, дхк
есть функциональный определитель подстановки.
Если величине Y8 приписать определенный знак в первоначальной системе
отсчета и условиться о том, должен или не должен меняться этот знак в
результате преобразования, в зависимости от чего определитель
преобразования будет положительным или отрицательным, то соотношение
Vg' = р Yg (37)
будет иметь точный смысл с учетом знака.
Пусть теперь бrir2...rn равняется нулю, если какие-нибудь два индекса
равны друг другу, и +1, если все индексы различны, и
перестановка
29 "Система 8" Риччи и Леви-Чивиты (см. цитированную выше работу этих
авторов).
^ А. Эйншгейн, том I 257
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г*
rv г2, . . . гп получается из основной перестановки 1, 2, ... п четным
или нечетным числом перестановок двух индексов. Тогда величины
вгЛ... Vg (38)
будут компонентами специального ковариантного тензора ранга п, который мы
назовем ковариантным дискриминантным тензором. Поскольку преобразование
сначала дает
ег,г2. ¦¦гп= ^г,г2. ,.гп * V7 ~ бГ1г2... гп ' р V g,
где
Р - 2 i2...i • РчгРчч • • • Pin - ^г,Гг...г 2
^Ui2...i РчпРцгц , • • Pi г >
ЧЧ..Лп п п wiA...in п п а
то отсюда следует
ег,г2...г = V~g 2 PixnPiiTi • • • Pi г ,
n UU...i n n
z n
или, в силу определения (38),
г Л... г - 2 еЧЧ-.ЛР11г1Рчп • • • Pir>
г,г2... г
Для обратного контравариантного тензора в соответствии с (13) находим
ейг2...г - 2 Тцг/ПцГг • • • Tinrn'erlr2...rni
"V2--.r
eiii2... г - Vg' 2 ^V2... r 'TWTv-s • • • Уг г >
n r,r2...r n 7171
12 n
eiiU...in - fyi2...in' Vg' 2 ^rtr2... rnTlr,T2r2 • • • Tnr^.
Поскольку же определитель нормированного минора равен
1
Vg '
|Г*.
то
... г
(39)
Значение ковариантного (контравариантного) дискриминантного тензора
заключается в том, что внутреннее умножение его на контравариантный
(ковариантный) тензор ранга-А, , дает однородный тензор ранга А,-п,
959
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
причем меняется тип тензора, если разность X - п отрицательна (дополнение
к тензору).
Если
п - 4,
то существуют специальные тензоры вплоть до четвертого ранга, поскольку
все специальные тензоры высших рангов тождественно обращаются в нуль.
Отличные от нуля составляющие специального ковариантного тензора
четвертого ранга либо равны друг другу, либо противоположны по знаку.
Дополнение (внутреннее произведение на контраварйантный дискриминантный
тензор) дает скаляр, так что дифференциальные операции, применимые к
специальному тензору четвертого ранга, сводятся к дифференциальным
операциям над скаляром.
Дополнение специального ковариантного тензора третьего ранга есть
контраварйантный вектор первого ранга. Дополнение специального
ковариантного тензора второго ранга есть контраварйантный специальный
тензор второго ранга. Наконец, дополнение специального ковариантного
вектора первого рода приводит к контравариантному тензору третьего ранга.
Исследование влияния гравитационного поля на физические процессы (часть
I, § 6) требует более подробного рассмотрения специальных тензоров
второго ранга (6-векторов).
Если (c)[xv есть специальный тензор второго ранга, то его дивергенция
[формула (35)]
в силу равенств
(н) - (н) (н) Г)
СВОДИТСЯ К
= (/i-e*.). (40)
Выведем далее из контравариантного тензора второго ранга 0ц,, дуальный
контраварйантный тензор второго ранга (c)rs следующим образом. Образуем
