Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
252
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
есть ковариантный тензор ранга X + 1, производимый из тензора ранга X.
Риччи и Леви-Чивита называют дифференциальную операцию в правой части
"ковариантным дифференцированием" тензора Тг,г2... гх. При этом введены
обозначения
{:}-з
Tut
t
rs
t , - (17)
Г"] = L(^i +i!f! I
L t J 2 у dxs + dxr aT) • (18)
Здесь [<s] и {"} представляют собой трехзначковые символы Кристоф-феля
первого или второго рода соответственно; обращая соотношение (17),
находим 24
Вводя в соотношение (16) вместо ковариантных тензоров взаимные им
контравариантные тензоры, получаем "контравариантное расширение"
= 2 Т<1 ( gXi ) + { r } 0tr,...rx + jra) 0r,*.. -Г . . • +
+ {?х}егл...*. (20)
II. Дивергенцией ковариантного (контравариантного) тензора ранга
X будем называть ковариантный (контравариантный) тензор ранга X - 1,
получаемый внутренним умножением расширения на контравариантный
(ковариантный) фундаментальный тензор. Следовательно, дивергенцией
ковариантного тензора 7\v2... гх будет тензор
Тг2г3...гх = 2 "TsrlTri...rxs, (2^)
sr,
а дивергенцией контравариантного тензора &Г1гг...гх- тензор
= 2 §sri%...rxs- (22)
24 На основании этих формул легко показать, что расширение
фундаментального тензора тождественно равно нулю.
253
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
Дивергенция тензора неоднозначна; в общем случае результат меняется, если
в соотношениях (21) и (22) индекс гг заменять индексами г2, г3,... гх.
III. Обобщенной операцией Лапласа, в применении к тензору, будем
называть последовательность операций расширения и дивергенции. Поэтому
обобщенная операция Лапласа позволяет получить из тензора однородный
тензор того же ранга.
Особый интерес представляют случаи X = 0, 1, 2.
а) к = 0.
Исходный тензор есть скаляр Т, который можно рассматривать как
ковариантный или контраварйантный тензор нулевого ранга.
Тензор
т' = %гг <23>
есть ковариантное расширение скаляра Т, т. е. ковариантный тензор первого
ранга (для п - 4 ковариантный 4-вектор), называемый градиентом скаляра.
Инвариант
дТ дТ /о/v
2 Trs дхг дха ^ ^
rs
есть первый дифференциальный параметр Бельтрами скаляра Т.
Для образования дивергенции градиента необходимо из его расширения
rs dxydxs 2 { к | dx образовать скаляр
которому можно придать вид 25
(25)
Дивергенция градиента является результатом применения обобщенного
оператора Лапласа, применяемого к скаляру Т, и тождественно совпадает со
вторым дифференциальным параметром Бельтрами скаляра Т.
25 См., например, цитированную выше работу Коттлера, а также вычисление
дивергенции 4-вектора в случае "б".
254-
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
б) 1= 1.
Пусть исходным тензором будет ковариантный 4-вектор, хотя с таким же
успехом можно взять и контравариантный тензор.
Согласно соотношению (16), ковариантным расширением будет
дТ" ( rs Л
Trs = !кс 2 { к } Т*- (26>
S к
Дивергенция определяется выражением
2 Trs^rs = 2 Trs (^ \ i к \ , (27)
rs rsk \ s /
которому в соответствии с (17) мы придадим вид:
Угт -У\Л-(ГТ\ dJlL.T - - у гъ,1д§г1 4-dJbl dgrs\T ZjTrs^rs - Zj qx
[Trs1 r) dx *r 2 TrsTkl I Qx + dx
rs rskl s 8 \ 8 r 1 /
(28>
помощью формулы 28
ду.
Если ИСКЛЮЧИТЬ -^2 с ПОМОЩЬЮ формулы 28
dx s
г' - ЗТгрТ.о-Й5. (29>
дх. I rp I so дх
1 ра
то в равенстве (28) три средних члена под знаком суммы сократятся, и,
кроме первого члена, останется
V 1 " dgrs " rp _ V Т dlogVg
2 2 Trs дх, 'ТмТ* - ZjTklTk д *
rskl ' kl 1
26 Эта формула, которую мы применяем также в § 4 при составлении
дифференциальных уравнений гравитационного поля, доказывается следующим
образом-Имеем
2^T*; = 6j*. (О или 1).
I
Следовательно,
i с I 1
где t - одно из чисел 1,2.
Для определенного к, таким образом, получается п уравнений (i = 1, 2, . .
. п}-
с п неизвестными {I - 1, 2, . . . п), решение которых дает формулу (29) в
дх,
тексте.
255
Проект обобщенной теории относительности и теория тяготения
1913 г.
так что для дивергенции ковариантного 4-вектора27 получим
2 TrJrs = (V~g ГгзТг). (30)
rs rs
в) X = 2.
Пусть исходным тензором будет контраварйантный тензор второго ранга (c)rs,
расширение которого по формуле (20) имеет вид
0rSf = S Та ^-^7 + { г } 0/cs + { Л * (31)
Отсюда в качестве дивергенции контравариантного тензора (c)rs получается
либо дивергенция по строкам
в, = 2 ?"е", = 2 (^ + О + СЛ еЛ ¦ <32>
s t sJ( \ (r) /
либо дивергенция по столбцам
es = 2 grfi,* - 2 C-t + { ?} + {ГЛ вЛ. (33)
rt rlс \ r 1
Эти две дифференциальные операции для симметричных тензоров совпадают.
Поскольку
2 {?} = 2 г" [Л = 2 Ьк = • <34>
г rs rs К К
то формулу (33) можно также переписать в виде
е*= Л2Л<^-е") + 2{Лв'*- ,35)
§ 3. Специальные тензор^ (векторы)
Ковариантный (контраварйантный) тензор называется специальным 28, если
его компоненты образуют систему альтернирующих функций основных
переменных.
В соответствии с этим компоненты специального тензора подчиняются
