Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
несвязанного потока массы:
(2в)
287
К современному состоянию проблемы тяготения
1913 г.
При этом g означает определитель g^. Первые три равенства (56) выражают
закон сохранения импульса, последнее - закон сохранения энергии. Этой
системе можно придать несколько более наглядную форму, введя величины
Sov g ffguQgy.
V-
Тогда получим
где XjiT означает поделенные на g миноры g^.
Физический смысл величин S?ov вытекает из следующей схемы 11
?п &12 со ?14 -Хх -Ху -хг 1х
2-21 2-22 &23 3^24 -ух -Yv -гг 1у
^31 ^32 -?зз' ?34 - Ух - У У -У г U
?41 2-42 &43 ?44 fX и U ц.
Причем стоящие справа величины имеют тот же смысл, что и в § 3. Правая
часть (5в) выражает отдаваемый гравитационным полем в единице объема и в
единицу времени импульс (<з = 1, 2, 3) или отдаваемую энергию (а = 4).
Равенства (56) и (5в) без сомнения имеют значение, далеко выходящее за
рамки рассматриваемого движения несвязанных масс; вероятно, они выражают
вообще баланс энергии и импульса между материальной системой и полем
тяжести. Только для каждой особой физической области величины (c)jxv и
необходимо выражать особым образом.
§ в. Замечания о математическом методе
В изложенной теории обычная четырехмерная теория векторов и тензоров не
может применяться, поскольку в соответствии с ней Hdxl не является
инвариантом. Фундаментальный инвариант, который мы назвали интервалом,
есть
ds2 == ^g^dxp, dxv.
Однако теория ковариантов таких четырехмерных многообразий, определенных
своим линейным элементом, была развита ранее в особенности в
11 В оригинале пропущены все знаки минус в правой части. Эта опечатка
исправлена автором в одной из последующих работ (статья 25). - Прим. ред.
288
23
К современному состоянию проблемы тяготения
работах Риччи и Леви-Чивиты12, которые опирались главным образом на
основопологающую работу Кристоффеля13, и известна под названием
"абсолютного дифференциального исчисления". Доступное изложение важнейших
теорем можно найти в выполненной М. Гроссманом части нашей цитированной
выше работы.
В этой теории различают много видов тензоров, а именно: ковариантные,
контравариантные и смешанные тензоры, для которых действуют сходные
алгебраические законы, как в общеизвестном случае, который
характеризуется эвклидовым линейным элементом. Определены также
дифференциальные операции, дающие при применении к тензорам снова
тензоры, так что для алгебраических и дифференциальных соотношений
обычной теории векторов и тензоров можно указать соответствующие
соотношения и в случае обобщенного линейного элемента.
Следует заметить, что dxv есть v-я составляющая контравариантного тензора
1-го ранга (т. е. с одним индексом), или усуть составляющие ковариантного
или контравариантного тензора 2-го ранга, который мы будем называть
фундаментальным тензором, ввиду его значения для линейного элемента.
Далее, 0^ есть контраварйантный тензор 2-го ранга,
-y=$ov - смешанный тензор 2-го ранга.
Из равенства (56) вытекает, что "дивергенция" тензора обращается в нуль.
Отсюда следует, что равенство (56) ковариантно относительно любых
подстановок, чего, конечно, надо требовать и с физической точки зрения.
Заменяя уравнения теории относительности с помощью абсолютного
дифференциального исчисления соответствующими им уравнениями, мы получаем
системы уравнений, учитывающих влияние гравитационного поля на
рассматриваемую область явлений. Эта задача для электромагнитных явлений
в вакууме уже решена Коттлером 14.
Из сказанного следует, что вопрос о влиянии гравитационного поля на любые
физические процессы в принципе решается удовлетворительно, а именно таким
образом, что соответствующие уравнения являются кова-риантными по
отношению к любым преобразованиям. При этом пространственно-временные
координаты сводятся к произвольно выбираемым вспомогательным переменным,
не имеющим физического смысла. Следовательно, вся проблема гравитации
была бы решена удовлетворительно, если бы удалось найти ковариантные
относительно произ-
12 Ricci u. Levi-Civita. Methodes de calcul differentiel absolut et leurs
applications. Math. Ann., 1900, 54, 125.
13Christoffel. J. Math., 1869, 70, 96.
14 К о 11 1 e r. Ober die Raumzeitlinien der minkowskischen Welt. -Wien.
Berlin, 1912, 121.
а. Эйнштейн, том I
280
К современному состоянию проблемы тяготения
1913 г.
вольных преобразований уравнения, которым удовлетворяет гравитационное
поле gОднако решить проблему таким способом нам не удалось 15. Решение
все же удалось получить, дополнительно ограничивая выбор систем отсчета.
К этому пути довольно естественно приводит следующее соображение. Ясно,
что для одного только материального процесса (т. е. без его
гравитационного поля) законы сохранения энергии и импульса не могут
выполняться. Этому обстоятельству соответствует появление члена в правой
части равенства (5в). С другой стороны, мы должны, по-видимому,
требовать, чтобы для материального процесса и гравитационного поля вместе
