Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
3 В электростатике, например, все силы, действующие на вещество, можно
представить через тензор натяжений Максвелла; однако из этого нельзя
сделать вывод о том, что на вещество в самом деле не действуют объемные
силы; речь идет скорее о таком способе представления, которое делает
очевидным справедливость принципа равенства действия и противодействия.
300
24
Дополнительный ответ на вопрос Рейснера
Расположим в прежде свободном от гравитации пространстве =0
статическую материальную систему 2, компоненты энергии которой частично
принадлежат гравитационному полю, порождаемому частями 2. Уравнения
гравитационного поля (76) после подстановки
При этом величины Gaav в известном смысле можно называть компонентами
гравитационного поля. Поскольку все производные по времени в нашем случае
должны обращаться в нуль, то интегрированием по объему внутри замкнутой
поверхности отсюда получается следующая система уравнений,
соответствующих теореме Гаусса:
^ (Glav cos (пх) + 6r2av cos(пу) + G30v cos (nz)) da = x ^ (?av + tav)
dV,
где n означает направление внешней нормали к элементу поверхности da, а
dV - элемент объема.
Выберем в качестве границы объема интегрирования поверхность, заключающую
в себе систему 2 вместе с ее гравитационным полем, так что с точностью до
пренебрежимо малых величин эта поверхность включает всю гравитационную
энергию поля. Тогда нетрудно убедиться в том, что число "силовых линий
гравитационного поля", пронизывающих бесконечно удаленную поверхность,
зависит только от интеграла в правой части соответствующего уравнения.
При этом, как показывают уравнения сохранения импульса, в интересующем
нас случае при соответствующем выборе систем отсчета правая часть отлична
от нуля только для а = v = 4.
Из сказанного следует, что напряженность гравитационного поля на большом
расстоянии от 2 зависит, кроме расстояния, только от интеграла
т. е. только от полной энергии системы 2 (энергия вещества плюс энергия
гравитационного поля) 4. Аналогичное положение имеет место и для пон-
4 При этом молчаливо предполагается радиальная симметрия поля в
бесконечности. Этого можно добиться, выбирая систему отсчета так, чтобы в
бесконечности выполнялся принцип постоянства скорости света (система
отсчета, законная в смысле первоначальной теории относительности).
имеют вид
(^44 + П4) dV,
301
Дополнительный ответ на вопрос Рейснера
1914 г.
деромоторного действия гравитационного поля, порожденного системой 2, на
материальную точку Р, достаточно удаленную от 2.
Однако эта материальная точка Р оказывает обратное воздействие на систему
2 и в силу равенства (96) как раз таким образом, что соблюдается
равенство действия и противодействия. Следовательно, полное силовое
воздействие точки Р на систему 2, производимое гравитацией, зависит,
помимо относительного расположения 2 и Р и массы Р, только от полной
энергии системы 2. Тем самым наше утверждение доказано.
Впрочем, в основах теории содержится не только требование о том, чтобы
тяжелая масса замкнутой статической системы определялась лишь ее полной
энергией, так что гравитационное поле дает такой же вклад в полную массу,
как и вещество. Напротив, то же самое должно выполняться и для инертной
массы системы. Это доказывается следующим образом. ^
Заметим сначала, что у- (?av -j- tav (есть смешанный) по индексу а
ковариантный, по индексу v контравариантный) тензор относительно линейных
преобразований.
Пусть - произвольный смешанный тензор такого рода. Тогда
J>j - ковариантный вектор или, что то же самое,
V
1 V V- 8 V Of d lg V-s
Но при линейном преобразовании У - g изменяется только на постоянный
множитель. Поэтому g есть ковариантный 4-вектор, так же
как и .второй член написанного выше выражения. Отсюда следует, что четыре
величины
1 V^g
V-g
дх.
также образуют ковариантный 4-вектор. С другой стороны, произведение
четырехмерного элемента объема dx hr У - g есть скаляр. Отсюда следует,
что и
дх.,
также есть ковариантный 4-вектор. Это справедливо и для интеграла от*
этой величины по произвольной части четырехмерного объема.
302
24
Дополнительный ответ на вопрос Рейснеря
Сделаем теперь следующие предположения о величинах 5Iav.
1. Все 2tav для (положительных и отрицательных) бесконечно больших хх,
х2, х3 обращаются в нуль.
2. Сумма 2 отличается от нуля только в некотором конечном
интервале ж4, а для меньших и больших значений х4 обращается в нуль. При
этих предположениях интеграл
распространенный на все значения хх, х2, х3 и на интервал х4 между двумя
значениями tx и t2, включающими указанный в пункте 2 интервал х4, равен
В соответствии со сказанным выше, этот интеграл, распространенный на
определенную часть четырехмерного объема, есть ковариантный 4-вектор. Это
свойство сохраняется, если распространить область интегрирования на
объемы, в которых подынтегральная функция равна нулю. Отсюда следует, что
и последний рассмотренный нами интеграл также является 4-вектором. Это
