Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
- постоянная.
Из математических исследований дифференциальных тензоров в многомерном
пространстве следует, что выражение, которое можно использовать для
составления Г, должно быть функцией от
Ит,"Г,., (ik, 1т).
¦ml
Здесь (ik, 1т) означает известный тензор четвертого ранга Римана -
Кристоффеля, который связан с мерой кривизны в теории поверхностей и
определяется формулой
(ik, 1т)
\
д28
8hl
d2gn
2 \ dxhdxi дхфх
дхкдхг
+ 2гса
дЧтк дххдхг
+
[imi
р J обозначено выражение
~im ' кГ ~il '
- Р - _ a _ . Р .
кт
с
])•
дхг
дхл
дх.
Далее, из общей теории ковариантов ясно, что ?av содержит лишь 1 (или
функцию этой величины).
скаляр
V-
Отсюда следует, что искомое уравнение должно иметь форму
(5а)
iklm
При этом во всяком случае предполагается, что вторые производные величин
gn,v и ?ov входят в искомое уравнение линейно.
Уравнение. (5а), которое мы только что установили, и уравнения (3)
полностью содержат теорию Нордстрема по отношению к произвольным
пространственно-временным координатам, если на величины g^v наложить
дополнительное условие, чтобы для соответствующим образом выбранной
системы отсчета выполнялся принцип постоянства скорости света.
809
Теория гравитации Нордстрема
1914 г.
§ 3. Основные уравнения теории Нордстрема в системе координат, выбранной
в соответствии с принципом постоянства скорости света
Теперь представим себе привилегированную систему координат, относительно
которой выполняется принцип постоянства скорости света. Тогда компоненты
фундаментального тензора заданы значениями, записанными в таблице (4).
Значения можно найти в таблице:
+ о О о
О + 'фг О О о о + ~ о
О о О
В этом случае имеем
ds - Ф У dx* -f- dx:* + dx* - dx*.
Как уже упоминалось, ds является "естественно измеренным" расстоянием
между двумя соседними пространственно-временными точками. Будем различать
случаи, когда связывающий вектор является пространственно-подобным или
временно-подобным. В первом случае соответствующим выбором системы
отсчета вектор можно перевести в чисто пространственный; тогда для длин,
измеренных "естественно" и в координатной мере, получаем соотношение
Л = Ф|^dx2 + dy2 -j- dz~, т. e. масштаб естественной длины ds имеет
координатную длину
Для временно-подобного вектора при соответствующем выборе системы отсчета
пространственные компоненты обращаются в нуль и мы получаем
ds = Ф V - dx*, или -4^ = (frdxz.
4 7 I
Величина ^ есть не что иное, как промежуток времени, измеренный
d S
заданными часами. Тогда величина представляет собой разность
г
времен в координатной мере.
Следовательно, 1/Ф есть множитель, на который следует умножить
"естественно измеренные" длины и промежутки времени, чтобы получить
соответственно координатные времена или координатные длины.
310
25
Теория гравитации Нордстрема
Из формы линейного элемента
ds2 = Ф2 (dx2 -f- dy2 -j- dz2 - c2dt2)
следует, что уравнения теории Нордстрема ковариантны не только по
отношению к преобразованиям Лоренца, но и по отношению к преобразованиям
подобия.
Уравнения сохранения импульса и энергии (3) для материи принимают
вид
= (3")
V т
Следует отметить, что согласно этому уравнению влияние гравитационного
поля на систему определяется только скаляром (1/У - g) 2
Т
Это согласуется с соображением, которое мы высказали при выводе уравнения
(5а).
Дифференциальное уравнение гравитационного поля (5а) принимает вид:
1 ( д2Ф . д2Ф . д2Ф д2Ф \ к _
+ + <50)
(здесь к означает новую постоянную), или
ФПФ = Л2]?"-
Т
Поскольку отношение естественных и координатных длин в одной точке можно
выбрать произвольно, постоянная к выбирается произвольно. Например, вслед
за Нордстремом можно положить к = 1.
Нетрудно видеть, что полученные уравнения полностью согласуются с
уравнениями, найденными Нордстремом.
§ 4. Заключительные замечания
Выше было показано, что если исходить из принципа постоянства скорости
света, то теорию Нордстрема можно получить из чисто формальных
соображений, т. е. без использования других физических гипотез. Поэтому
нам представляется, что эта теория заслуживает предпочтения перед всеми
другими теориями гравитации, основанными на этом принципе. С физической
точки зрения это естественно и потому, что указанная теория строго
удовлетворяет закону эквивалентности инертной и тяжелой массы.
311
Теория гравитации Нордстрема
1914 г.
Заметим, что только применение инвариантной теории абсолютного
дифференциального исчисления позволило прийти к ясному пониманию
формального содержания теории Нордстрема. Далее, наш метод без
привлечения новых гипотез позволяет рассматривать влияние гравитационного
поля на любой физический процесс, которое следует ожидать согласно теории
Нордстрема. С полной отчетливостью выступает также связь теории
Нордстрема с теорией Эйнштейна - Гроссмана.
Наконец, роль, которую играет в настоящем исследовании дифференциальный
тензор Римана - Кристоффеля, наводит на мысль, что можно было бы таг ке
найти способ вывода гравитационных уравнений Эйнштейна - Гроссмана,
