Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
15. Пусть gn (а) - полная ортонормированная система собственных функций
оператора К?Функции gn(х) могут быть разложены по СФ оператора L:
gn (а) = 2 Л"тфт (а).
Из условия ортонормированности системы следует: 5 (^) ёт W -
Swm,
5 р (A)j | 2 Aimb (A) j dx =
= 2 ^ Ф/г (А) ф; (A) dX =
i, Л
- А%пAim&ik = AknAkm - $пт-
i, k k
Это условие означает, что матрица Апт унитарна:
ЛЛ+ = /.
Таким образом, переход от дискретного L-представления к дискретному /(-
представлению есть унитарное преобразование, задаваемое оператором-
матрицей А. Поскольку унитарное преобразование не меняет собственных
значе-
17
ний, то в принципе дискретный спектр любого оператора L можно найти
следующим способом. Взяв произвольную полную систему функций (например,
функции Эрмнта), вычислить матричные элементы
Lmn = 5 фт (X) 1ф" (А-) dx = (т\ L \ п)
и подобрать унитарную матрицу Аы такую, чтобы унитарное преобразование
Мл =Л.
приводило к диагональной матрице. Тогда элементы 1тт = - кт и будут
собственными значениями оператора L.
Однако всякая полная в L2 система функций ф" (а) содержит бесконечное
число функций. Это означает, что все преобразования придется проводить с
матрицами бесконечного порядка. Этот способ не всегда является лучшим.
Кроме того, в изложенном виде метод неприменим для отыскания непрерывного
спектра: очевидно, число собственных состояний любой матрицы Lmn счетно.
16. Эрмитовы операторы с непрерывным спектром не имеют в классе L2
полной ортонормированной системы собственных функций. Однако собственные
функции ф(Л, х) оператора L с непрерывным спектром могут быть выбраны
так, что будут выполняться соотношения, аналогичные (1.12) и
(1.13). А именно, для любой функции f (х) из L2 будет определена функция
а (X) = $ f (а) ф* (к, х) dx, (1-15)
принадлежащая L2 и такая, что
f(x) = ^a (Я) ф (к, a) dk. (1.16)
Интегрирование по к всюду ведется по всему непрерывному спектру. Функцию
o(L), как и в п. 1.14, будем называть функцией f(а) в L-представлении.
Как и в случае дискретного спектра, функции ф(Х, а) определены
соотношением (1.8) лишь с точностью до постоянного комплексного
множителя. Модуль этого множителя определяется условиями (1.15), (1.16).
Так как
f( А) = $ф(М X)dk\f(t)r (к, g)d& =
= ф* (к, I) ф (к, a) dk,
18
то функции, удовлетворяющие условиям (1.15), (1.16), называют
нормированными на 6-функцию:
$ф*(А, ?)ф(А, A)dA = 6(A-?). (1.17)
Аналогично, при подстановке (1.16) в (1.15) получим
а(к) - ^а (ц) ф (ц, х) ф (%, х) dp dx =
= \ а (р) dp $ Ф (р, х) ф* (к, х) dx,
то есть
$ф*(А, ?)ф(р, ?)dg = 6(p -А).
Функции f (х) и а (А) дают два равноценных способа описания. Переход от f
(х) к о (А) можно представить как результат действия унитарного оператора
U+, ядро которого в интегральной форме имеет вид
t/+(A, х) = ф*(А, х).
Ядро сопряженного оператора U имеет вид
U (А, х) = ф(А, х).
Легко проверить, что такой оператор U унитарен. При унитарном
преобразовании оператор М преобразуется в U+MU\ такой вид преобразования
можно получить и непосредственно:
Mf (а) = § а (А) Мф (a, A) dk,
Мф (а, А) = $ М (А, А') ф (a, A') dk'.
Здесь ядро М (А, А') определяется соотношениями М (А, А') = ^ ф* (а, А)
Мф (a, A') dx,
f(x) = \a (A) dk \ М (А, А') ф (a, A') dk' =
= \а' (А)ф(a, A) dk, о(А) = $М(А, k')a(k')dk'.
Итак,
М (А, А') = ^ П+ (A, a) MU (А', a) dx.
Зная вид оператора, действующего на функции от а, мы нашли вид оператора,
действующего на функции от А.
19
Если эрмитов оператор обладает как непрерывным, так и дискретным
спектром, то разложение (1.15) принимает вид
/ (*) == S ЙЛ (х) + $ а (Я) ф (Я, х) dA, (1.18)
П
где коэффициенты разложения определяются формулами (Г. 12), (1.15).
Функции дискретного и непрерывного спектров взаимно ортогональны:
$ф*(х)ф(А, х) dx = 0.
В дальнейшем для упрощения записи мы будем обозначать правую часть (1.18)
одним только знаком суммы, подразумевая включение интеграла по
непрерывному спектру.
17. Для эрмитовых операторов с дискретным спектром имеют место
следующие утверждения.
а) Если операторы L и М имеют общую систему СФ, то они коммутируют. Для
любой собственной функции
ЕУИф" = L (Цпфп) " ЯдЦпфп = Л1 /з]',т.
Раскладывая произвольную функцию /(х) из L2 по системе ч])" (х), получим
LMf (х) = LM 2 (х) = 2 (х) = MLf (х).
п п
б) Если операторы L и М коммутируют, то они имеют общую систему
собственных функций - матрицы Lmn, Мтп одновременно приводятся к
диагональному виду. Пусть для определения матричных элементов
используется система СФ оператора L. Тогда
Для = Л/ч Л/Я/;,
^{ш)тп=(м1)тп,
^ [ LmkMkn ^ LkiJ^mkt
k k
M-mn ij^mm ^mi) " 0.
A A
Если СЗ L не вырождены, то Мтп - матрица М
диагональна. Если СЗ L вырождены с кратностью g, то могут быть отличны от
нуля g(g- 1) недиагональных
20
элементов Мтп. Линейные комбинации <(>,." функций я]:,,,,,
соответствующих вырожденному значению Я*, могут быть выбраны так, что Мтп
= 0 при т п в системе функций (Фи> 'IV,7;)• Так как ц.к" также суть СФ L,
