Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
то L и /Сбудут одновременно приведены к диагональному виду.
18. Если для эрмитова оператора N существуют эрмитовы операторы L и М
такие, что
l/W, iV] = 0, [L, iV] = 0, [М, L]^0,
то собственные значения N вырождены. Из утверждений п. 1.17 следует, что
существуют общие системы собственных функций операторов MuN-ф(х; р, v) и
операторов L и N - я]: (г, Я, р). Пусть спектр N дискретный:
/ W = 2 "\-Ф (X, и, V) >] (*, Я, V).
V V
Вычислим матричный элемент <'/|УИ1|/):
$ 2}оуф*(х, р, v)| Afl М|; (х, Я, v')jdx =
= ^ (*> fl> v) У] Яу'Я\.'ф (х, Я, v') dx.
V' V'
Если все СЗ N различны, то в силу (1.11) получаем
</!лШ/> = 2ш-яуяа-
V
Такой же результат получается и при вычислении матричного элемента
Следовательно, предположение
о том, что все СЗ N различны, неверно: среди СЗ N есть вырожденные.
Аналогично проводится доказательство и для непрерывного спектра.
19. Оп реде лен ие 13. Следом матрицы Lmn называется сумма диагональных
элементов
Я/,;/, - У ; Спп.
п
След произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей:
Sp (ab) = У, У, Qnkbkn = 'У] ^ Ь^пйцк = Sp (Ьа).
п k k п
21
След произведения нескольких матриц не меняется при циклической
перестановке сомножителей:
Sp (dbc) = Sp (bed) - Sp (cab).
След матрицы не меняется при унитарном преобразовании:
Sp А = Sp (UU*А) = Sp (й+Аи) = Sp а.
Унитарным преобразованием эрмитова матрица L может быть приведена к
диагональному виду. При этом ее след
SpL = ^>"
П
равен сумме собственных значений.
Определение 14. Следом интегрального оператора, заданного ядром L (х, ?),
называется величина
Sp L = § L (х, х) dx.
Свойства Sp L, аналогичные свойствам Sp Lmn, легко доказать.
ЗАДАЧИ
1. Доказать тождество Якоби
[[р, q], г] + [[р. г], р] + [[ч р], }]=о.
2. Доказать соотношение
еЧе-^а+У[ь, 5]+^[?, [?, "]]+...
Указание. Рассмотреть оператор а (ц), зависящий от параметра Т):
а (г\) = еп^ае~
и найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет а (г|).
3. Доказать соотношение: если \t>, o] = iX, то
exp [tj (о + i>)] = exp (rjfc ) • exp (ца ) • exp ^ - i k'j.
Указание, exp [ц (a-j-fc)] = exp (r}b) L (ц). Найти уравнение
для L (tj).
4. Пусть Я - малый параметр. Написать разложение оператора (А - 'кВС1 по
степеням к.
5. Пусть [с, о] = Яо, а|ф) = а:ф). Найти с.
6. Найти [S, с], если [с, а\=ка, [а, ?] = с.
22
Указание. Использовать результат задачи 1.1.
Операторы, определенные соотношениями [о, af] = /,
с с++ с+'с =/, сс = 0, играют исключительно важную роль в квантовой
механике. Введенные для них обозначения мы будем использовать постоянно.
7. Пусть
л сГ'сг-А-аа а+о + аа+ л . а+а+ - а а
А =-----4^ > As =-----^---3Aa=t---------------------.
Найти коммутаторы [/1;, А /,].
8. Пусть функция / (х) разложима в ряд Тейлора. Доказать, что
[а, /(а+)]=^.
ila-
Указание. Доказать для f (х) ^=х'1 по индукции.
9. Доказать, что формула задачи 1.8 правильна и для функций, разложимых в
ряд Лорана.
10. Пусть
^ С+В+ ^ С+ - С п С+С - СС+
W " о > ---2 ' - о •
Найти коммутаторы [С;, С д. J.
11. Найти СФ и СЗ эрмитова оператора в Е":
° Ч ?=?+.
d Г
12. Найти в Е2 матрицы с, сД
13. Найти СЗ оператора n - tA'c.
14. Доказать, что условие
fc+6 + fcfc+ = _/,
противоречиво.
15. Доказать, что СЗ оператора (/" ь)я (/.)" неотрицательны.
16. Найти СЗ оператора н = а+о.
Указание. Выразить (а+)п (а)п через п и использовать результат задачи
1.15.
17. Показать, что в Е3 матриц а, а+ нет. Объяснить, сравнив с результатом
задачи 1.16.
18. Найти СЗ оператора К = а/ а а^как*.
19. Найти СЗ оператора L = aAb + й+я, если [б, 6+] = /, [я, /;] -
= 0, [а\ о] = 0.
20. Найти СЗ оператора M - i(ab+ - fcah). Коммутаторы такие же, как в
задаче 1.19.
23
21. Доказать, что для функций комплексного переменного величина
(/. = ^ (z)g(z)dz
обладает свойствами скалярного произведения. (Интеграл берется по всей
комплексной плоскости.)
22. Показать, что если скалярное произведение определено, как в задаче
1.21, то
- d
а=~г, й+=г.
dz
А А
Такое представление а и п+ называется представлением Фока - Баргмана.
23. Найти унитарное преобразование, при котором
й->й+Я, й+->й++Я*.
24. Найти общий вид нетривиальных (отличных от 7) унитарных эрмитовых
матриц о (а) в Е2-
25. Найти унитарные эрмитовы матрицы ог (i = l, 2, 3) в Е2 такие, что
[о*, оу] = 2eyftofc,
в представлении, в котором сг3 диагональна.
Ответ:
0 1 т о 1 0
01 = 1 0 Q 11 1 0 > <?3- 7 о
Эти матрицы применяются в квантовой механике. Они называются матрицами
Паули. Введенные для них обозначения мы будем использовать постоянно.
26. Найти унитарные матрицы А'к такие, что
СДг*)+ Oi(A'k) = ak.
27. Вычислить Ек (Я)=ехр [Яол].
28. Операторы D такие, что Ь2=Ь, называются проекционными. Найти
проекционные матрицы в пространстве Е2-
29. Доказать, что если L имеет дискретный спектр и все Я" не вырождены,
то не существует оператора М такого, что
[L M]=d.
30. Доказать, что если А к В имеют обратные матрицы и
Аб + ВЛ = 0, то А и В имеют четное число строк и столбцов и Sp А^= Sp В =
