Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения, коэффициенты которого зависят от параметров.
3. Можно потребовать, чтобы наблюдаемые были собственными значениями
некоторого дифференциального оператора, коэффициенты которого зависят от
параметров.
Фактически в квантовой теории были использованы все три подхода. Первый
лег в основу старой квантовой теории Бора (1913 г.). Второй был
использован Гайзенбергом (1925 г.) при построении матричной механики.
Третий был применен Шредингером (1926 г.) для создания волновой механики.
Методы Гайзенберга и Шредннгера лежат в основе современной квантовой
механики, аппарат которой основан на использовании линейных операторов в
гильбертовом пространстве *.
1. Определение 1. Пусть и - линейные множества. Оператор L,
преобразующий элементы множества а Г в элементы множества э1(r), называется
линейным, если для любых элементов fug из аГ и комплексных чисел а
5
и р справедливо равенство
L (af + Pg) = аLf + PEg-
Множество вФ называется областью определения оператора. В дальнейшем мы
чаще всего будем рассматривать различные множества функций действительной
переменной. Поэтому элементы множеств вФ и е(r) будем называть функциями.
Определение 2. Произведение операторов LM обозначает оператор, действие
которого на функцию ф заключается в последовательном действии оператора М
на ф, а затем оператора L на ф = УИф. В общем случае в произведении
операторов существен их порядок:
1щ Ф МЕф,
т. е. умножение операторов некоммутативно. Определение 3. Оператор
[А, В] = Ав - ВА
называется коммутатором операторов А и В. Если произведение операторов не
зависит от их порядка ([Л, Б] = = 0), то операторы называются
коммутирующими.
Определение 4. Оператор /называется единичным, если для любой функции ф
/ф = ф.
Определение 5. Оператор М1 называется обратным оператору М, если
(ММ-1) ф = (М-гМ) ф = ф.
Если М = LN, то М~г = Л^/г1.
2. Рассмотрим класс Сю всех непрерывных бесконечно дифференцируемых
функций действительного переменного
хе(- оо, + оо).
Линейные операторы можно задавать, непосредственно указывая правило
соответствия, например:
А| / \ 1 / \ j, / ч 4Ф(*) г, . / \ \ /1 1\
Линейность этих операторов очевидна. Многие операторы можно представить в
интегральной форме:
+ СО
Аф = 5 Цх,
-оо
Функция L (х, |) называется ядром интегрального оператора. Ядро оператора
N произведения интегральных операторов М ¦ L, если оно существует, есть
+°°
N (х, |) = \ М (х, у) L (у, 1) dy.
- ОО
В дальнейшем мы будем опускать обозначения пределов интегрирования, если
интегрирование по х ведется по всей оси.
3. Пусть ф (х) непрерывная функция. Ядро единичного оператора,
записанного в интегральной форме, называется б -функцией Дирака*:
/ф(х) = $6(х-|)ф(|) а? = ф(х).
С помощью 6-функции можно представить в интегральной форме многие
линейные операторы. Например, ядро Q(x, ?) оператора q, определенного
формулой (1.1), можно представить как ?б(х - |).
4. Если независимая переменная принимает счетное множество значений, то в
качестве аргумента функции можно рассматривать номера этих значений.
Обозначим
Ф(*Л) = Ф("1 = ФП.
Аналогом интегральной формы операторов для таких функций будет матричная
форма:
У, ДллФл - фт*
где матрица Lmn играет роль ядра. Набор чисел ф" рассматривается как
матрица с одним столбцом. Числа ф" можно рассматривать как компоненты
вектора в п-мерном комплексном евклидовом пространстве Е". Набор ф" мы
будем называть вектором. Компоненты матрицы единичного оператора /
определяются символом Кронекера 6lft. Матрица оператора М произведения
операторов - матриц L
и N - есть
Mo^'ELikN.n.
k
5.. Определение 6. Скалярным произведением
функций f(x) и g(x) называется число
(/> g)=\f*(x)g(x)dx (1.2)
(звездочка означает комплексное сопряжение). Очевидно, скалярное
произведение конечно не для любых функций из Со,. В дальнейшем мы
ограничимся рассмотрением
класса L2(-со, + со) функций, интегрируемых с квадратом на действительной
прямой*. Величина
m=vjrn (1-з)
называется нормой функции. Если (f, g) = 0, то говорят, что функции fug
ортогональны. Определенное таким образом скалярное произведение обладает
свойствами
(/ + /', g) = (f, g) + (f', g),
(f> g + g') = if, g) + (f, g'),
(/, ag) = a(f, g), (1A)
("/. g) = a* (f, g),
где а -любое комплексное число.
Множество функций L2, на котором определены скалярное произведение (1.2)
и норма (1.3), является гильбертовым пространством.
6. Скалярное произведение для векторов ф" пространства Е" определим
соотношением
(Ф> <Р) = Л^пф" = <Ф|ф>-
П
Можно рассматривать это выражение как матричное произведение вектор-
строки (ф | с компонентами ф'^ на вектор-столбец | ф) с компонентами <р".
При этом входящие в скалярные произведения векторы принадлежат разным
пространствам: Ef, (строки) и Е" (столбцы). Очевидно, что соответствие
между векторами этих пространств взаимно однозначно.
Такие же обозначения можно ввести и в пространстве L2. Функцию ф (х)
можно рассматривать как вектор
8
|тр), которому соответствует вектор сопряженного пространства (ф | = ф*
