Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
(х).
Произведение (f\g) есть, по определению, число. Произведение !/)(§¦]
понимается как оператор, который век-тору | ф) ставит в соответствие
вектор
\f)(g\^> = ((g\^"\f)-Из соотношений (1.4) следует линейность такого
оператора. Число (f\L\g) называется матричным элементом оператора L.
7. Определение 7. Если для любых функций я}) и <р выполняется
соотношение
<ф 111 <рч="ф | l+ | ф; )*,
то оператор L+ называется сопряженным оператору L. Отметим следующие
свойства сопряженных операторов:
<ф|е|ф> = "<р|е+|ф"* =
=((ФI (?+)+I ф" * *=<ф ! ?++1 ф>.
(L+)+ = t (1.5)
(ф | aL ] ф> == (а <ф | L+1 ф))* = а* <ф | L+ ] ф),
(aLy = a*L+.
Для операторов-матриц в пространстве Еп имеем | L | (р? ~ У| 'Фт^тяФя"
т, а
"ф [ V (ф"* = У]
т, п
Меняя местами индексы суммирования, находим соотношение между матрицами
сопряженных операторов:
У! ФтЕ"шф,г = 2 фт (Lnm)* фпу
т, п т, п (*
/ * ¦- / +
^тп - л-*пт •
Аналогичное соотношение выполняется и для ядер сопряженных интегральных
операторов в L2 (- оо, -f- со):
ЬЦх, Z) = L*(l, х).
Рассмотрим оператор, сопряженный произведению операторов М = LN:
(f\LN[g) = (\Ng\L*\f))* = ((g\N+t I/"*,
Л4+ = М+/Л
8. Определение 8. Если оператор L совпадает со своим сопряженным'
оператором L+, то он называется эрмитовым.
Так, эрмитовыми являются операторы Р и q в классе L2:
(f\q\g) = $ f*xg dx = ($ g*xf dx)* = {(g | q| f))*.
Здесь предполагается, что как / (х), g (х), так и х/, xg принадлежат L2:
(f\P\g) = \f* (*)g (-х) dx = J/* (- х)g{x)dx = ([g\P\f))*.
(Значение интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.)
Для любого оператора L оператор
Ls^L + L+ = Lt
будет эрмитовым в силу (1.5). Любой оператор L можно представить в виде
L = M+iN,
где операторы
л L-\-L+ L - L+ ,,
А = -2Г- (1.7)
эрмитовы. Мы будем называть М и iN, определенные так, эрмитовой и
антиэрмитовой частями оператора L. Опера-тор-матрцца в пространстве Е"
будет эрмитовым, если
I - I *
L-'nm - i-'tnn •
Отсюда, в частности, следует, что диагональные элементы эрмитовой матрицы
вещественны. Для интегральных операторов условием эрмитовости будет
равенство
L*(x, %) = L(g, х).
Произведение эрмитовых операторов будет эрмитовым оператором только
тогда, когда операторы коммутируют:
n+ =
10 .
9. Определение 9. Если для оператора L и функции ф (||ф Ц^О)
выполняется соотношение
Z-чр = , (1.8)
где Я - комплексное число, то я]? называется собственной функцией, а Я -
собственным значением оператора L. Если множество собственных значений не
более чем счетно, то собственную функцию ф", соответствующую собственному
значению Я," будем обозначать как | п). В дальнейшем
будем использовать сокращения и писать СФ вместо
"собственная функция" и СЗ вместо "собственное значение".
Собственные значения эрмитовых операторов действительны:
С*1'/г = Я"фп,
(п | L | п) - Я" (п | п) = "я | L+1 п.))* = Я? <я | л),
Я" = Я?.
Собственные функции эрмитова оператора, относящиеся к различным
собственным значениям, ортогональны:
1-ф'п - ЯЛд|'Л,, = Ятфт,
<т | L | п) = Я" (т | я), (1.9)
(т | L+1 /г) = ((я j L | т))* = Ят <т | я). (1-10)
Левые части выражений (1.9) и (1.10) равны. Приравнивая правые части,
получаем
(Я" - Ят)<ш|я> = 0. (1.11)
Так как по условию Ят Ф Я", то (лг|я) = 0, что и требовалось доказать.
Для оператора Д, например, собственными функциями в пространстве L2
являются четные (Я=1) и нечетные (Я = -1) функции. Выполнение равенства
(1.11) 'для СЗ оператора очевидно.
10. Определение 10. Если собственному значению }.k оператора L
соответствует больше одной собственной функции, то собственное значение
Я* называется вырожденным, а число g различных линейно независимых
собственных функций ф^ называется кратностью вырождения.
Собственные функции ф", соответствующие вырожденному значению А,/м могут
быть взаимно не ортогональны. Линейные комбинации
g
фп= 2
i = 1
также будут собственными функциями L, относящимися к значению Если
кратность вырождения конечна (или счетна), то система функций ф" может
быть сделана ортогональной. Положим
ф1 = Ф>1>
ф2 = Ф1 + "22^2, где а22 определится из условия ортогональности <Ф1 j ф2>
= 0 = <ф>11 ф>1> + а,2 <ф! | ф2),
откуда
" II ФИ'!3 .
22 (Ф'11 Фг) '
предполагается, что норма Цф^Ц конечна, а (фу | ф2) 7^ 0. Аналогично,
полагая
Фз - Ф1 + + ССззфз,
получим систему из двух линейных уравнений для коэффициентов аза, а33.
Такая процедура, называемая орто-гонализацией но Шмидту, может быть
продолжена для всех значений п до n - g. Ортогональную систему функций ф(
для вырожденного собственного значения мы будем называть правильной.
11. Определение 11. Оператора называется унитарным, если он сопряжен
своему обратному оператору:
л л , л. . л л
Ш+=?7+?У = /.
Собственные значения унитарных операторов по модулю равны единице:
U |ф) = ^|ф),
<ф 11/! Ф> = <Ф i н+1 ф> = м I ф> ,
U*=|A|2 = 1.
12
Произведение унитарных операторов W = 0 V также будет унитарным
оператором:
w+=v+0+,
W+W=V+U+UV = V+V = L
