Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 12. Пусть (У -унитарный оператор. Преобразование, при котором
функции ф сопоставляется функция ф = П+ф, а оператору L - оператор l =
U+LU, называется унитарным преобразованием {?/}.
Унитарное преобразование обладает следующими свойствами:
а) сохраняет коммутационные соотношения:
II, М] = &,
А I А А -А Л | Л -А д А | А .А А
U LMU - И MLLJ = U NU - п,
и+ [L, м] и = (й+Ю) (и^ми) -- (0+мй) (СПШ) = lm- ml,
[I m] = n;
л ¦ л
б) сохраняет эрмитовость операторов; пусть L -L. Тогда
(tf W = U+L+U++ = U+L+U =
1+ = Ь,
в) сохраняет собственные значения:
?ф = Лф,
0+?ф= му+ф,
(П+It)) (tf+ф) = Я (?>ф).
/ф = Яф;
г) сохраняет скалярное произведение и матричные элементы:
<фт | L | ф2> = <ф, | UU+UJU+1 ф2> =
= <фх | 0+№ | ф2> = <ф! | /1 ф2).
12. Оператор L называется ограниченным, если существует такое число С,
что для функции / е такой,
13
что 11/11= 1,
III/IN С.
Значения параметра X, для которых оператор (I - Я/)-1 существует,
определен всюду в L2 и ограничен, называются регулярными точками
оператора L. Все остальные точки комплексной плоскости образуют спектр
оператора L.
Собственные значения оператора L принадлежат его спектру. В этом случае
оператор L - XI, область определения которого &€}. та же, что н у
оператора L, не осуществляет взаимно однозначного соответствия между ех/
и Если ф - собственная функция L, то из равенства
(t-M)f = g следует также равенство
(Е-Я/)(/+ф) = ?,
и неоднозначность соответствия очевидна. Таким образом, если X есть
собственное значение оператора L, то оператор L - XI не имеет обратного.
Множество собственных значений называется дискретным спектром L. Кроме
СЗ, в спектр входят также значения X, при которых оператор (L - XI )~г
существует, но определен не всюду в L2 или не ограничен. Такие точки
образуют непрерывный спектр L.
Если оператор L эрмитов, то невещественные точки комплексной плоскости X
являются его регулярными точками. Оператор (L - X1)-1 существует, так как
Я = ? + й] (т] Ф 0)
не может быть собственным значением L. Пусть (L - X/)f - g.
Тогда
1ЫР=||(1-?/)/|2+т1211/г,
ll/NKl-^-Nki^jllgll-
Последнее неравенство означает ограниченность оператора
(L-xi)-к
14
В дальнейшем изложении, следуя установившейся в квантовой механике
терминологии, мы все значения А, принадлежащие спектру, будем называть
собственными значениями. Нетривиальные решения уравнения
Тф = Аф,
где значение А принадлежит спектру, мы будем называть собственными
функциями оператора [ив том случае, когда ф не будет принадлежать
пространству L2.
13. Операторы, используемые в квантовой механике,
обладают полными системами собственных функций. Для
эрмитовых операторов с дискретным спектром на классе L2 это означает, что
любая функция f (х) е L2 может быть представлена в виде разложения по
собственным функциям ф" оператора L:
СО
f(x) = У] ап% (х), П. 12)
П - 1
где коэффициенты в разложении определяются формулой
ап = 5 / (х) Ф* (x)dx. (1.13)
Так как собственные функции ф (х) определены формулой
(1.8) с точностью до постоянного комплексного множителя, для
однозначности разложения потребуем нормиро-ванности собственных функций
на единицу:
N>"1=1. (1Н)
Если среди собственных значений оператора А есть вырожденные, то
мы будем предполагать, что в систему ф"
включены правильные собственные функции
(Фт> Фи) ~ - Ьтп
для любых т и п. Такую систему будем называть орто-нормированной. Из
равенства
ОО
f (X) = 2 (Sf (I) Ф? (Ю dl) Ф" (х) =
П - 1
= Фг(эы*))ш"
\п = 1 /
15
следует, что выражение
п
можно рассматривать как ядро единичного оператора (б-функцню Дирака).
Если эрмитов интегральный оператор обладает полной системой функций
дискретного спектра ф", то в силу соотношений (1.12), (1.13) его ядро
может быть представлено в виде
L (х, ?) = ?#? (?) Фг (х).
i = 1
14. Пусть L - оператор на L2 с полной системой собственных функций ф".
Последовательность чисел
ап^=\1 (а) Ф* (a) dx
однозначно определяет, вследствие (1.12), функцию f(x). Поэтому можно
считать сам набор ап видом исходной функции f (х) в представлении L.
Пусть М - некоторый оператор на L2. Тогда
АД (а) = ^ апЩп (л),
П
Мф"(х) = Мф (п, х) = 2 Мт"ф (т, а),
т
Мтп = 5 фт (х)Щп (х) dx.
Эта матрица определяет вид оператора М в дискретном L-представлении:
(х) = ^ ап 2 Мmntym (а-) = 2 фт (а) 2 М тпО-п i
пт т п
Щ (А) = ^ Отфт (х), т
^ j МтпС1п.
т
Можно сказать, что переход от функции f (х) (функции в х-представлении) к
набору чисел ап (функции в L-представлении) есть результат действия
унитарного оператора U+, 16
определенного условиями
ап = U+f (х) = $ фп (a) f (a) dx, f (а) = Uan = 2 М>п (а).
Легко проверить унитарность оператора U+:
^ ф (п, а) ф* (т, x)dx - UU+ = I = Ьпт.
Матрица оператора L в своем собственном представлении диагональна:
L'mn ~ ^ Фш (а)/-Ф,! (a) dx = Am6m".
Для определения матричных элементов необходимо найти собственные функции
и собственные значения оператора L. Если они известны, то оператор L
приведен к диагональному виду.
