Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
i'i'k'...p'
тогда как Р12Т(11)Ф= 2 Ui'iUnUk'k ¦ • • ^р'рФ/'(1) Фи (2)X
i'i'-.p'
Хф*'(3) ... фр'(я), так что эти выражения одинаковы. Значит,
преобразование Т (U) будет коммутировать с проекционными операторами Р(а)
группы afn, где (а) = [п1и2...] - индекс неприводимого представления
группы of п. Поэтому если мы разложим пространство L на подпространства
L(a), соответствующие каждому проекционному оператору:
!i=2№>,
(а)
со каждое подпространство будет инвариантно отно-тительно преобразования
Т (U), так как Т(и)Р(а)Ф = = p(a)j (и)ф = р(")ф', т. е., действуя на
любой вектор из подпространства L("), преобразование Т (U) снова дает
вектор из подпространства LlaK Кроме того, всякое пространство L(ct)
очевидным образом инвариантно относительно группы аГп. Значит,
пространство Ъа) инвариантно относительно произведения групп ^nxUN, так
как перестановки коммутируют с унитарными преобразованиями. Поэтому мы
для базисных векторов пространства L("; можем ввести обозначение Ф)"\
причем для унитарного преобразования
|Т(и)ФЙ> = 2^*, (18.4)
X*
а для перестановки Р
рФй>-2адр)Ф п. (18.5)
Здесь [t-обычный индекс строки неприводимого представления Т(сс) группы
&п (гл. 17), а * - новый индекс, введенный для нумерации базиса
подпространства из всех векторов пространства Ua\ которые имеют
одинаковый индекс t. Поэтому U(a)-как раз то представление группы Ujy,
которое будет интересовать нас в данной главе.
Унитарная группа Uдг
249
Представление Т(а) (Р) группы of п обязательно неприводимо, так как оно
строится с помощью проекционного оператора Р(а). Удивительно, что
представление U(a> группы UN, построенное таким способом, тоже
неприводимо, но мы не будем доказывать это. Набор представлений U(a> для
всех разбиений всех целых чисел п в действительности не является полным
набором представлений, но после небольшого пополнения (§ 9) он становится
полным. При фиксированном а базисные векторы ФЙ? пространства Lw обычно
располагаются в виде прямоугольного блока:
Векторы в каждом столбце преобразуются по (одинаковому для всех столбцов)
неприводимому представлению Т(а> группы аРп, а каждая строка порождает
(одинаковое для всех строк) представление U<a) группы UN. Размерность
представления Т(а) мы обозначим через sa, как и в гл. 17, а размерность
представления U(a) - через da. Резюмируем сказанное: раздельные индексы
появляются из-за инвариантности пространства L(a) относительно
произведения групп of nxU N\ неприводимость представления Т(а) является
следствием использования соответствующего проекционного оператора;
утверждение о неприводимости представления U(a) группы UN нам еще
предстоит доказать. Для представления Т группы е?"х U,у, действующего на
пространстве L, мы имеем
Приравнивая размерности обеих частей этого равенства, получаем
соотношение
Ф<"> Ф<?> ф<"> ... ф$а
Ф<?> Ф<"> ... ф(r)а Ф& :
(18.6)
т_2 т(а)(r) и(а).
(18.7)
а
(18.8)
между размерностями sa представлений Т(а) и размерностями da
представлений U(a). Важно осознать, что раз-
250
Глава 18
биения а служат как для нумерации неприводимых представлений конечной
группы так и для нумерации неприводимых представлений непрерывной группы
UN. При фиксированном числе N можно брать любые^поло-жительные целые
числа п, соответствующие разным числам сомножителей в произведениях
(18.2). Поэтому, как и должно быть в случае непрерывной группы, мы
получаем бесконечное число неприводимых представлений. Существует,
однако, одно ограничение на возможные разбиения \п1п2..,'\. Напомним,
что, согласно сказанному в гл. 17, разбиение на р частей предполагает
полную антисимметрию для множеств из р частиц, выбранных из
первоначальных п частиц. Но при рУ> N это невозможно, так как имеется
всего N различных одночастичных состояний. Значит, неприводимые
представления U(a) группы Uх нумеруются разбиениями [п1п2...'\ любого
целого числа п |на не более чем N частей. Иначе говоря, их можно
занумеровать схемами Юнга с не более чем N строками.
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ
Чтобы проиллюстрировать довольно абстрактные утверждения предыдущего
параграфа, рассмотрим примеры с небольшими числами N и п.
1) iV = 2, п = 2. Введем обозначение ф, (1)фу(2)ф^(3)...
... Фя (п) =n\ijk . .. ру. Тогда существуют iV" = 4 произведения |11>, |
12>, | 21 >, )22>. Неприводимые представления группы & 2 нумеруются двумя
возможными разбиениями [2] и [11], а соответствующие подпространства
определяются следующими базисными векторами:
LW: |11>, (/12> + |21"/К2, )22>,
LU1]; (( 12>- |21"/|/2.
Так, например, разбиению [2] соответствует, как мы видим, трехмерное
представление группы U2 и, согласно сказанному в гл. 17, § 5, одномерное
представление группы аР2.
2) N = 3, п - 2. Пользуясь тем же обозначением, что и выше, разложим 32 =
9-мерное пространство L на под-
Унитарная группа (Удг
251
пространства
111}, | 22>, | 33>, (| 12> + |21"/^2, (|13>+|31"/|/2, (|23> + |32>)/1/2,
L1(tm): (112>-|21"/К2, (|13>-|31"/|/2,
