Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ф2 они преобразуются одинаковым образом. В самом деле, они преобразуются,
как векторы |1> и |2> с помощью 2x2-
254
Глава 18
матриц исходного представления группы U2, которое соответствует п- 1.
Оставшийся вектор 133> очевидным образом инвариантен относительно группы
U2.
Для доказательства формулы (18.9), или "закона ветвления", как она иногда
называется, мы применим разложение внешнего произведения неприводимых
представлений группы аГп (гл. 17, § 11). Сначала мы разложим пространство
L, состоящее из всех произведений типа (18.2), на
П
подпространства, L= 2 Lr, в соответствии с поведением г = 0
векторов при преобразованиях из подгруппы Ut. Иначе говоря,
подпространство Lr состоит из тех произведений, у которых г частиц
находятся в состоянии срЛг, а я-г частиц-в остальных состояниях: от срх
до При
анализе структуры подпространства Lr мы можем считать, что оно построено
из произведений вида
Ф/ (!) Фу (2) • • • Фp(.n~-r)yN{n-r+ 1) . . . срлг(п) (18.10)
путем а) всевозможного выбора индексов /, /, ..., р из
чисел 1, 2 N-1 и б) всевозможных перестановок,
которые перемешивают между собой частицы с номерами от 1 до я- г и от (я-
•/¦-f-1) до я. Структура такого произведения подобна структуре
произведения (17.24), рассматривавшегося в гл. 17, § 11, где говорилось о
внешних произведениях. Шаг "а" совпадает с процедурой построения
пространства L (§ 1). Правда, здесь числа я и N заменены числами я-г и N-
1. Поэтому для частиц с номерами от 1 до я-г мы можем построить
представления со всеми схемами Юнга ап_г, составленными из я - г
квадратов и содержащими не более N-1 строк. Эти схемы Юнга ап_г описывают
поведение векторов при преобразованиях как из группы Un_lt так и из
группы ^п-г• Чтобы установить, как ведут себя произведения
(18.10) при преобразованиях из группы &Г", нужно построить внешнее
произведение представления ап_г группы &п_г с полностью симметричным
представлением [г] группы of г, которое соответствует последним г
частицам в произведении (18.10). Это возможно как частный случай правила
(17.28). Тогда при заданной схеме Юнга ап_г схемы Юнга ап, связанные с
группой &п, получаются путем добавления г квадратов к схеме ап_г таким
Унитарная группа (Удг
255
способом, чтобы никакие два добавленных квадрата не лежали в одном
столбце. Обратив рассуждения, мы теперь можем вывести разложение (18.9).
Таким образом, при заданной схеме Юнга ап и при заданном числе г все
возможные представления группы ?/дг_1 соответствуют тем схемам Юнга ап_г,
которые можно получить, удалив из схемы ап г квадратов, лежащих в разных
столбцах.
§ 4. СИСТЕМА НУМЕРАЦИИ БАЗИСНЫХ ВЕКТСРОВ
В гл. 17, § 8 мы применили последовательность подгрупп с5р"_1 -&л_2 -. .
. -*- группы с9>п для построе-
ния однозначной системы нумерации, базисных векторов неприводимых
представлений Т<"п> группы ofп. Такие же рассуждения для
последовательности подгрупп UN_1-^
U/v-2 -*¦••• -*¦ Uu рассмотренной в § 3, приводят к однозначной системе
нумерации базисных векторов представлений U("ra) группы UN. При такой
системе базисные векторы представления U<"n) нумеруются
последовательностью схем Юнга
ап. an-rN, ап-гЛг-гдг_1, •••, an-rN-rN_1-..,-r" (18.11)
где схема an-rN определяет представление подгруппы UN~i> которому
принадлежит вектор, схема а"_Л Гу_} относится к подгруппе UN_2 и т- Д-
Доказательство того, что такая система нумерации однозначна, т. е. что
нет двух базисных векторов представления и(."л>, которые имели бы
одинаковые индексы, совершенно аналогично доказательству, приведенному в
гл. 17, § 8. Мы не будем повторять его. В качестве примера шести базисным
векторам представления Ut2) группы Us, рассмотренного в § 3, можно
сопоставить последовательности разбиений, указанные во втором столбце
табл. 18.1.
Последовательность схем Юнга, или разбиений,- это громоздкое обозначение.
Как и в гл. 17, § 8, более компактная система нумерации получается, если
сопоставить каждому базисному вектору одну схему Юнга ап, квадратам
которой следующим образом приписаны "номера состояний" от 1 до N. Число N
ставится в те квадраты схемы ап, которые отсутствуют в схеме <*n-rN,
число N - 1-в те квадраты схемы осл- г v, которые отсутствуют
256
Глава 18
Таблица 18.1
|И> [2], [2], [2]
(|12> + |21"/У2 [2], [2], [1]
1 22> [2], [2], [0]
(| 13>+|31"/КТ [2], [2]. [1]
(i 23> + | 32))/У2 [2], [1], [0]
|33> ' [2], [0], [0]
в схеме а"_л г , и т. д. Такая система нумерации показана в третьем
столбце табл. 18.1. В качестве еще одного примера сопоставим восьми
базисным векторам представления [21] группы U3 таблицы Юнга
1 1
1 '2
2 2
1 3
со 3
3 3
П-|2
ШГ
| ; 1 1 2.1 2 2| 1 3] 1|3| 2 31
I ¦* _3_ _3_ _2_ 1Г Jj
(18.12)
Например, первому базисному вектору соответствует последовательность
разбиений [21] -[21] -*- [2], шестому - последовательность [21] -*-[11] -
[1], а восьмому - последовательность [21] -*- [1] -[0].
Подчеркнем, что для группы UN способ приписывания номеров состояний
