Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 85

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 138 >> Следующая

Коэффициент пропорциональности К выражается через характер этого класса
сопряженных элементов: Ха = n^gx(§i/sa, где "g - число гэлементов в
классе сопряженных элементов, а s" - размерность представления. Для
группы перестановок с9'п простые перестановки P{J- образуют класс
сопряженных элементов (211...) (в обозначениях § 3). Поэтому
сумма 2 T(a)(Piy) операторов в неприводи дом представ-? < /'
лении Т(а> должна быть пропорциональной единичному оператору. Коэффициент
пропорциональности можно вычислить на основании таблицы характеров. Такой
оператор дает удобный критерий симметрии представления. Например, в
полностью симметричном представлении он равен 1/2п(п-1), а в полностью
антисимметричном представлении этот оператор отрицателен. В силу
сказанного в § 10 этот оператор обращается в нуль в самосопряженном
представлении. Мы можем рассматривать этот опера-
Группа перестановок gfn
243
тор класса сопряженных элементов как оператор разности между числом
симметричных и антисимметричных пар. Конечно, нужно иметь в виду, что
отдельные операторы Т (Р/у) не являются, вообще говоря, диагональными.
Для чисел Ка существует простая формула, позволяющая вычислять их прямо
на основании схемы Юнга представления Т". Если длину строки р обозначить
через пр, а длину столбца q через mq, то можно показать (задача 17.7),
что
<17-37>
Р Q
ЛИТЕРАТУРА *)
Подробное изложение теории группы перестановок, ее представлений и
проекционных операторов можно найти в книгах:
1. Rutherford D. Е., Substitutional Analysis, Edinburgh University
Press, 1948.
2*. Наймарк М. А. Теория представлений групп.- М.: Наука, 1976.
Коэффициенты Клебша - Гордана для этой группы подробно обсуждаются в
книге:
3. Hamermesh М., Group Theory and its Application to Physical Problems,
Addison Wesley, Reading, Mass., 1962.
[Имеется перевод: Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим
проблемам.- М.: Мир, 1966.]
В следующих книгах описана связь между группой (fjpn и непрерывными
группами U[г и 91 n\ в них можно также найти формулы для характеров и
другие полезные формулы:
4. Litttewood D. Е., The Theory LOf Group Characters, Oxford University
Press, 1950.
5*. Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления.- М.: ИЛ,
1947.
ЗАДАЧИ
п /1 2 3 4 5 6\
17.1. Представьте перестановку (?46 1 537 В ВиДе пР0изведения
циклов. Покажите, что она принадлежит классу сопряженных элементов [321]
и имеет отрицательную четность.
17.2. Пользуясь методами гл. 4, § 15, постройте таблицу характеров группы
<5^4. Сопоставьте ваш результат с табл. 17.1 (§5).
17.3. Постройте табл. 17.1 для значений характеров ф[га1п2-1 и ^tn,na..j
в случае ге = 4.
*) Литература, помеченная звездочкой, добавлена при переводе.- Прим. ред.
244
Глава 17
17.4. Перечислив возможные таблицы Юнга, найдите размерность
представления [32] группы gfb.
17.5. Пользуясь методами § 9, постройте матрицы перестановок Р12" Р23 и
Р31 в представлении Tt31J группы Сравните ваши ответы с матрицами,
вычисленными по правилам § 13.
17.6. Пусть /,• и g; - семейства функций, преобразующихся по
представлению группы tlfn, матрицы которого ортогональны. Покажите, что
сумма 7^ = 2/7+' полностью симметрична.
i
Пусть hi-семейство функций, преобразующихся по сопряженному представлению
Т[11-)0Т<°9. Покажите, что сумма Fa = =2/Л' полностью антисимметрична. i
17.7. Вычислите величину [формула 17.37)] для оператора класса
сопряженных элементов 0 = 2 ^ (р//) в представлении С
"</
Вычисления нужно проводить в следующей последовательности: а) пусть /-
базисный вектор,^для которого числа от 1 до tii находятся в первой строке
его таблицы Юнга у, числа от /ii+l до Hi + rt2-во второй строке и т. д.;
постройте функцию g = \f, где А-произведение антисимметризаторзз для
столбцов таблицы у\ б) оператор Q представьте в виде Q = Qr + Qc + QOT,
где Qr содержит те пары ij, которые лежат в одной строке, Qc содержит
пары, лежащие в одном столбце, a Qm содержит оставшиеся пары; в)
покажите, что C+g- = = -Va- г) покажите, что (<+. + <+,) Af =
Я
= A(Qr + Q")/; д) покажите, что Qrf=n/a 2 тр (тр - 1) /;
р
е) покажите, что AQnf = 0.
18
УНИТАРНАЯ ГРУППА UN
В гл. 10 и 11 мы весьма подробно исследовали специальные унитарные группы
SU2 и SU3. Их неприводимые представления строились в виде диаграмм из
одномерных и двумерных представлений, как показано на рис. 11.1 и 11.5
(т. 1, гл. 11, § 6). Этот метод трудно применять при больших числах N, в
чем мы убедились при кратком рассмотрении групп St/4 и SUs в гл. 12. В
данной главе мы изложим простой метод описания неприводимых представлений
группы UN при произвольных N. Он основан на некоторых свойствах группы
перестановок S'п, изученной в предыдущей главе. В самом деле, как мы
покажем в данной главе, эти две совершенно разные группы тесно связаны
между собой. Наиболее ясно их связь видна в самой интересной физической
ситуации, а именно при классификации волновых функций системы п частиц,
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed