Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
для каждой из которых возможны N разных состояний. Здесь можно
рассматривать как перестановки частиц, так и унитарные преобразования в
N-мерном векторном пространстве состояний каждой отдельной частицы. Мы
будем исследовать свойства группы UN в самой общей ситуации, хотя и будем
говорить о частицах и состояниях.
В гл. 10-12 мы видели, что группы SU2, S[/3, Sf/4 и SUe представляют
интерес в физике как группы приблизительных симметрий гамильтонианов
элементарных частиц и ядер. Анализ группы UN при произвольных N поможет
нам взглянуть с единой точки зрения на эти более ранние результаты. Мы
увидим также, что группы U.2l+j и U2j+1 можно использовать для
классификации сложных многоэлектронных волновых функций, которые можно
построить из п электронов, находящихся на валентных орбитах с угловым
моментом / или /. Применение
246
Глава 18
унитарных групп в этой задаче является скорее математическим приемом, чем
использованием группы симметрии гамильтониана.
Сначала мы остановимся на неприводимых представлениях группы UN. Затем с
помощью цепочки подгрупп UN->- UN_x-+ ... иг мы пронумеруем базисные
векторы этих представлений. В § 7 общие результаты прилагаются к простым
случаям групп SU2, SU3 и S[/it которые рассматривались в предыдущих
главах. Инфинитезимальные операторы группы UN рассмотрены в § 8. В § 10
обсуждаются некоторые приложения группы UN к изучению многочастичных
волновых функций. Параграфы 11 и 12 посвящены характерам неприводимых
представлений группы UN. В § 13 обсуждается связь между группами SU2 и
5?3.
§ 1. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ UN
В гл. 7 при построении неприводимых представлени-группы 5?3 мы
использовали перестановочные соотношей ния для инфинитезимальных
операторов. Тот же метод мы применили в гл. 11 к группе SU3. В данном
параграфе мы для группы UN унитарных преобразований JV-мерного
пространства изберем другой подход. С помощью N базисных векторов
исходного пространства, где действует группа UN, мы построим н-кратное
произведение пространств. Таким образом, новые представления строятся из
исходного представления унитарных JVx JV-матриц. Устраивая подходящую
симметризацию произведения пространств, мы получим полный набор
неприводимых представлений группы UN.
Обозначим через фх, <р2, ..., фд, множество базисных векторов исходного
JV-мерного пространства. Тогда группа UN определяется унитарными
преобразованиями
<Р/ = и<Р/ =s (18.1)
где Ujj - произвольная унитарная JVx JV-матрица. Произведение пространств
мы построим с помощью множества из'JV" произведений типа
Ф = ф,- (1) фj (2) ф* (3) ... фя (н).
(18.2)
Унитарная группа Uм
247
Каждый сомножитель имеет два вида индексов: нижние индексы i, j и т. д.,
которые меняются в пределах от 1 до N н описывают свойства вектора при
унитарном преобразовании (18.1), и индексы в скобках 1, 2, п, которыми
различаются между собой сомножители, так что можно строить
антисимметричные произведения. (Без этих индексов в скобках произведения
вида <р(-(1) cjy (2) - Фу (1) q>?- (2) обращались бы в нуль.) Порядок
сомножителей несуществен; например, произведение ср;(1)фу(2) означает то
же, что и произведение ср;- (2) <р,- (1). Обычно мы пишем произведения в
порядке возрастания индексов в скобках: 1, 2, ..., п. Отметим, что
индексы в скобках должны быть разными для всех сомножителей, тогда как
нижние индексы могут быть одинаковыми для различных сомножителей. Мы
будем считать индекс в скобках номером "частицы", а нижний индекс -
номером "состояния". (Это соответствует физической задаче о построении
волновой функции системы п электронов, каждый из которых может находиться
в одном из N вырожденных одночастичных состояний. Например, случай N - 2
связан с возможными спиновыми состояниями системы п электронов, каждый из
которых имеет спин s = 1/2, а случай N = 21+ 1 связан с возможными
орбитальными состояниями системы п электронов, находящихся на валентной
орбите с угловым моментом I и проекциями ml = l, I-1, ..., -I.)
Пусть Т (U) - преобразование пространства (18.2), порождаемое унитарным
преобразованием (18.1) для всех частиц. Оно задается следующим образом:
Tb(<J) ф = ф; (1) ф; (2) Ф* (3) .. . фp(rt) =
= Ui4 Ujf}Uk'k * • • Up'ptyv (1) Ф/' (2) ф&' (3) • • . фр' (я).
t4'k'
(18.3)
Следовательно, Л^"-мерное пространство L произведений типа Ф инвариантно
относительно преобразования T(U). Оно порождает представление Т группы
UN, заданное в[виде н-кратного прямого произведения U(g)U(2)U(g).. ,(g)U
матриц U размера NxN. Представление Т приводимо. Покажем, как с помощью
перестановок номеров частиц пространство L можно разложить на несколько
инвариантных подпространств. Ясно, что пространство L также
248
Глава 18
инвариантно относительно группы &" всех перестановок номеров частиц. Эти
перестановки коммутируют с унитарными преобразованиями Т (U). Например,
Т (U) Р,2Ф = Т (U) ФУ (1) Ф,- (2) Ф* (3) . .. фя (п) =
= 2 Uj'jUi'iUk'k ... UP'p(fr(l) ф,'(2) ф (3) ... Фр'(га),
