Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 90

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 138 >> Следующая

совершенно отличен от того способа приписывания номеров частиц, который
мы применяли для группы afn в гл. 17, § 8.
5. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ UN
Следуя общему определению гл. 4, § 17, для любых
двух представлений ис""> и группы UN можно по-
строить прямое произведение. При этом получается представление,
размерность которого равна произведению размерностей двух исходных
представлений. Нам нужно разложить такое произведение представлений на
неприводимые составляющие. Опять мы сначала просто сфор-
Унитарная группа Upp
257
мулируем результат:
U<"">(g)uK') = t]m(P; а а'п,)№\ (18.13)

где суммирование производится по всем схемам Юнга р, составленным из п +
п' квадратов. Коэффициенты тф-, ап, а'п) задаются по правилам, которые
были сформулированы в гл. 17, § 11 для разложения внешнего произведения
представлений групп &" и tfn,. Схемы Рс числом строк, превышающим N, не
рассматриваются, поскольку таких представлений группы UN нет (§ 1). И это
единственный способ, которым число N входит в выражение (18.13). Прежде
чем доказывать этот результат, мы опять приведем несколько примеров.
В частном случае, когда п = 2, п' = 1 иа" = [2], коэффициенты тф; ап,
а'п,) определялись формулой (17.26). Разложение (18.13) имеет вид
Utsl(g)Ur,, = U[s,0Uts,l. (18.14)
Как объяснялось ранее, при N= 1 второй член должен отсутствовать.
Естественно, при N= 1 нет никакого разложения, так как неприводимые
представления - это одномерные представления ехр (- In 0), нумеруемые
целым числом п. При N = 2 размерность левой части равенства (18.14) равна
3x2 = 6, а два члена в правой части имеют размерности 4 и 2 (см. § 2,
примеры 1 и 3). При М = 3 примеры 2 и 4 (§ 2) показывают, что теперь
размерность левой части равна 6x3=18, а члены в правой части имеют
размерности 10 и 8.
В качестве более сложного примера рассмотрим произведение Uf*1I(2)Ut*11,
для которого разложение внешнего произведения представлений дается
выражением (17.29). Не воспроизводя здесь это выражение, мы лишь отметим,
что при N - 2 произведение представлений имеет размерность 4 и
разлагается в сумму представлений Ut4,J и Uf33) с размерностями 3 и 1, а
для iV = 3 произведение представлений имеет размерность 64 и разлагается
в сумму представлений U14*1, Uiml, U133', (дважды) и 1Н,М1
с размерностями 27, 10, 10, 2x8 и 1.
Для доказательства разложения (18.13) мы воспользуемся тем, что, как
показано в гл. 17, § 12, коэффициенты тф-, ап, <х'п.) входят также в
разложение (17.30) представ-
258
Глава 18
ления T(W группы аРп+п, при ограничении его на подгруппу ^пХ^п,.
Рассмотрим пространство L, состоящее из произведений (18.2) для п-\-п'
частиц. Как говорилось в § 1, такое пространство разлагается на
неприводимые представления произведения групп X UN (они нуме-
руются разбиениями р числа я + я'):
т = 2т(р)(r)и(р).
Р
Ограничение на подгруппу ",(r)?/N приводит в силу
соотношения (17.30) к дальнейшему разложению:
т= S , ""(Р; "". ";*)т("в)(r)т(""')(r)и<Р). (18.15)
р. ап, а'п,
Рассматривая по отдельности первые я и последние я' частиц и применяя к
каждой из этих групп частиц выражение (18.7), мы также приходим к
разложению
т = 2 (18Л6)
ссп, ап
Наконец, сравнивая это выражение с предыдущим, мы получаем желаемое
разложение произведения представлений группы UN:
Р
6. ОГРАНИЧЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ С ГРУППЫ UN НА ЕЕ ПОДГРУППУ SUN
Неприводимые представления U("> группы (/^строились в § 1 из произведений
типа (18.2), причем индекс а означал разбиение числа я, т. е. разбиение
числа сомножителей в произведении. В данном параграфе мы рассмотрим
подгруппу, состоящую из всех унитарных iVxiV-матриц, определитель которых
равен единице. Она обозначается символом SUN и называется "специальной
унитарной группой" или "унимодулярной группой". Соотношение между
группами UN и SUN лучше всего характеризуется тем, что группу Uдг можно
представить в виде прямого произведения U1xSUN, где иг -группа УУхУУ-
матриц, пропо-
Унитарная группа t/дг
рциональных единичной матрице с коэффициентом пропорциональности ехр (-
1ф), причем ф-действительное число. (Эта группа Ux не совпадает с
рассмотренной в § 3 группой и1г действующей лишь на одномерном
подпространстве нашего N-мерного пространства, хотя, конечно, эти группы
изоморфны.)
Если А и В-квадратные матрицы, то выполняется простое соотношение det AB
= (det A)(detB). Поэтому из условия унитарности UIE = 1 матрицы U
следует, что | det U |2= 1. Следовательно, любую унитарную матрицу U
можно представить в виде U = ехр (- 1ф) U, где det U= +1. Как нетрудно
убедиться, множество всех унитарных N xN-матриц U с detU=l образует
группу. Значит, группа UN распадается на группу Ux множителей вида ехр(-
/ф) и на группу U, которую мы назвали группой SUN.
Из общей теории представлений произведения групп (гл. 4, § 21) мы знаем,
что неприводимые представления U<") группы UN должны иметь вид прямого
произведения неприводимых представлений групп Ut и SUN. Представления
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed