Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 93

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 138 >> Следующая

{ггг2.. .rN) называется "весом" базисного вектора. Например, восемь
базисных векторов, заданных диаграммами (18.12), имеют следующие веса
(записанные в том же порядке):
(210) (120) (201) (111) (021) (111) (102) (012). (18.21)
Заметим, что в отличие от последовательности схем Юнга, рассмотренной в §
4, веса не дают однозначной системы нумерации. Все возможные веса удобно
располагать в таком порядке, чтобы вес (г[г'2... r'N) считался старше
веса (гхга.. ,rN), если rt. Если же г[ = ги то упорядочение идет по
значениям чисел г2 и гг и т. д. Так, старшим весом в наборе (18.21) будет
вес (210). Из определения чисел г,- видно, что старший вес произвольного
неприводимого представления U(a), где ос - [я^...], совпадает с самим
разбиением, т. е. г1 - п1, г2 = пг и т. д. Значит, старший вес может
служить индексом представления U(a). Этот вывод включает в себя как
частный случай то обстоятельство, что для нумерации неприводимых
представлений D(/> группы используется максимальное из чисел "( = /')•
266
Глава 18
Матрицы повышающего и понижающего операторов можно найти, обобщив метод
гл. 4, § 4, п. Б и воспользовавшись также последовательностью подгрупп.
Мы не будем на этом останавливаться.
§ 9. КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
uN и suN
Каждому представлению U(ot> группы UN соответствует комплексно-
сопряженное представление и!а)\ которое получается путем комплексного
сопряжения всех матричных элементов представления U(a). В частности, в
случае инфинитезимальных операторов это означает, что веса представления
U(a)* противоположны по знаку весам представления U(K). Отсюда явствует,
что представление U(">* не может совпадать с каким-либо представлением
U(">, определенным в § 1, так как его веса должны быть положительны.
Следовательно, представления U(a), описываемые всевозможными разбиениями
а чисел п, не образуют полной системы. Но можно показать, что полная
система неприводимых представлений группы Цу задается представлениями
(det U)~dJ<"), где I-любое положительное целое число. Из сказанного в § 6
вытекает, что добавление простого множителя (detU)-* дает другое
представление, причем если (ги г2, ..., г д.)-вес представления U<">, то
(гг - /, г2 - /, - ..,rN-I)-вес представления (detU)_ZU(<X). Чтобы
убедиться в этом, нужно рассмотреть бесконечно малое преобразование U = 1
+га,Н,, соответствующее инфините-зимальному оператору Н, и малому
параметру а,-. Тогда (detU)_z = (l " 1-ilat. По определению
инфини-
тезимального оператора HJ.K) в представлении U<"> мы имеем U(ot)= 1+
Значит, при малом параметре а,- имеем
(det U)-'U<">= 1 + iat (Н<-"> - /), (18.22)
откуда следует желаемый результат.
Применяя эту расширенную систему неприводимых представлений, мы можем для
комплексно-сопряженного представления доказать эквивалентность
U(a)* =э (det U)""> U<P>,
(18.23)
Унитарная группа Ujу
267
где индекс а, как обычно, обозначает разбиение а =
= [п^.. ,nN], а р = [пг-nN, "!-nyv-1 "!-"2, 0].
Схема Юнга р сразу получается из схемы Юнга а путем вычитания схемы а из
четырехугольной схемы с пг столбцами и N строками, как показано на рис.
18.1. (Напомним, что некоторые числа nt могут быть равными нулю и первая
строка схемы р совпадает с последней строкой рисунка и т. д.)
__________________
Пг
пъ
nN-1
Рис. 18.1.
Прежде чем доказать эту эквивалентность, приведем несколько примеров:
N = 2 Ut1]* =; (detU)"1Uf1]j Ut2]* = (detU)-2U[2],
^ (det
Uiai]* == (det U)"2U[4,
N = 3 U[1]* === (detLI)-1 IK11], IK2]* = (detU)-2IK22],
Lit11!* e= (det U)-1^1],
lit21!* == (det U)_ 2 Ut2 .
Выражение (18.23) неоднозначно, так как в силу сказанного в § 6 при
добавлении к схеме Р полного столбца и одновременном включении в
выражение дополнительного множителя (detU)-1 выражение не меняется.
Эквивалентность (18.23) можно доказать, показав, что обе части равенства
имеют одинаковую систему весов. Например, старшим весом левой части будет
вес (-/гЛ-, -пл,_г, ..., -п2, -nj). Он соответствует минимальному весу
представления U<"], а именно весу (nx, nN_1, ..., пг, пг). По построению
старшим весом представления и<>5> будет вес (nj-nN, Я]-nN_,, ..., пл-л2,
0) [см. определение, следующее за формулой (18.23)]. В завершение доказа-
Р
¦М строк
268
Глава 18
тельства воспользуемся тем, что системой весов определяется
представление.
В случае группы SUN свойство det U = 1 приводит к значительно более
простой эквивалентности U<">* = U(P>, где схемы р и а связаны между собой
так же, как и раньше. Вспоминая также эквивалентности, о которых
говорилось в § 6, мы видим, что для группы SU2 есть эквивалентность Ut"l*
= и[я), т. е. все представления группы SU2 и, следовательно, группы 5?s
самосопряженные. Приняв для представлений группы SU3 обозначение (Хр), мы
получаем общий результат
А+/* А+^
Г А
В частности, (10)* = (01), а представление (11) будет самосопряженным.
§ 10. ПРИМЕНЕНИЕ ГРУППЫ К КЛАССИФИКАЦИИ МНОГОЧАСТИЧНЫХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
Представления группы UN мы вводили с помощью произведений типа Ф в
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed