Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 91

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 138 >> Следующая

группы Ult конечно, одномерны и имеют вид ехр(-гтф), где т-любое целое
число. Так как представление U(a) в § 1 строилось из п сомножителей, оно
имеет вид
11("> = ехр (- шф)(r)и("\ (18.17)
где п-число квадратов в схеме Юнга а. Значит, неприводимое представление
U(a) группы SUN имеет ту же размерность, что и представление U(K>. Иначе
говоря, представление U(K> не разлагается при ограничении его с группы UN
на подгруппу SUN. Поэтому для нумерации неприводимых представлений группы
SUN мы можем использовать те же разбиения (а) == (а) = \п1пг. . .]. Два
представления группы UN, отвечающие разными, очевидно, не эквивалентны.
Для группы SUN, как сейчас мы докажем, это не так.
Рассмотрим представление [11...1] группы UN при n - N. Оно должно быть
одномерным, так как из произведений (18.2) можно построить единственную
полностью антисимметричную комбинацию, а именно
ф- = 2л(Р)рФ1(1)ф*(2)...Ф^(А^), (18.18)
200
Глава 18
где суммирование идет по всем перестановкам номеров частиц, а я(Р)-это
четность перестановки Р. В силу формулы (18.3) унитарное преобразование
действует на вектор Y следующим образом:
T(U)Y= 2 ^а^,...^лг2я(Р)Рф,0)ф/(2)...фя(^).
i/...р Р
(18.19)
Из-за наличия оператора антисимметризации ненулевой вклад дают лишь те
комбинации i/...р, которые не содержат повторяющихся индексов, т. е.
комбинации ij. . ./?, представляющие собой перестановки чисел 12 ...N.
Обозначим чеРез ^12''' jy ) перестановку, которая частицы
с номерами ij.. .р переводит в частицы с номерами 12.. .N. Выражение
(18.19) можно переписать в виде
T(U)?= 2 UnUi2...UpN%n(P)Px
ij. . .р р
Х ( 12.'.' JV ) ф< (r) М/) ¦ • • Фя (Р) •
Напомним, что перестановка ^ ' > как и перестанов-
ка Р, действует лин ь на номера частиц. Поскольку порядок сомножителей
несуществен, их можно расположить в таком порядке, чтобы множитель срх(1)
был первым, множитель фа (2) - вторым и т. д. Тогда в силу того, что
четность произведения перестановок равна произведению четностей
перестановок (гл. 17, § 4), получаем
Т (U) Y = р UnUj*• • • Vpn 2 " (Р) Р (1{2;;РК) Фх(1)х
X Фа (2).. . Фл, (N) = 2р иaUJ%. .. UpNn ( 12 • ¦¦ • jV j X
x2Jt(p,)P,Ti(1)T2(2). • -фдг(Л0,
р'
где перестановка Р' определяется как произведение перестановок: P, =
P^i2"" Д^) ' в0Сп0ЛЬ30ВалИСЬ также
тем, что, когда перестановки Р пробегают группу <?PN, перестановки Р'
тоже пробегают эту группу (т. 1, гл. 2, § 9).
Унитарная группа U#
261
Наконец, заметим, что сумма по перестановкам Р' совпадает с вектором Т, а
сумма по индексам ij...p - с определителем матрицы U Значит,
Т(и)Т=(аеШ)Т. (18.20)
Смысл равенства (18.20) заключается в том, что вектор Т остается
неизменным при преобразовании из группы SUX. Таким образом, мы доказали
эквивалентность представления, отвечающего разбиению [11...1] числа n=N,
тривиальному представлению, отвечающему просто п=0. Это означает
эквивалентность схемы Юнга в виде одного столбца из N строк тривиальной
схеме, в которой нет ни одного квадрата. Теперь на основании результатов
§ 5 можно доказать эквивалентность и других представлений. Если U<">-
любое неприводимое представление, то по правилам построения коэффициентов
разложения (18.13) имеем 1 • • • ч = U(P>, где схема Юнга fi
получается из схемы Юнга а добавлением слева полного столбца. Так как
представлениеLU11 Р эквивалентно тривиальному, можно написать Ui">sU(r),
Значит, добавляя или вычитая один полный столбец (или несколько),
получаем эквивалентное представление. Можно показать, что других
эквивалентных представлений нет. Неэквивалентные неприводимые
представления обычно обозначаются схемами Юнга с минимальным числом
квадратов. Они получаются путем вычитания всех полных столбцов длиной N.
Поэтому в случае группы SUN нам нужны лишь схемы Юнга с числом строк не
более N-1.
Разложение произведения представлений группы SUN можно получить из
разложения (18.13) для группы UN, учитывая отмеченную выше
эквивалентность представлений. Например, для группы SU2 схемы Юнга
представлений имеют лишь одну строку, и, применяя разложение (18.13) к
произведению представлений Ut3l(g)Ulal группы SU2, получаем
= Г ГГ ГУ! (c) Г~| I I (c) ?-
В более привычных обозначениях D(/'\ которые в гл. 7 и
262
Глава 18
10 применялись для представлений группы SU2, это соотношение представляет
собой пример разложения (7.44):
D('/.>0D(1> - 0 0 D<'/.).
Здесь мы использовали эквивалентность представлений UI"] и о
которой будет сказано в следующем параграфе.
§ 7. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ: ГРУППЫ SU2, SU3 и St/4
Сопоставим теперь сказанное выше о группе SUN с частными описаниями групп
SU2, SU3 и SUt в гл. 10-12. В случае группы SU2 неприводимые
представления нумеруются схемами Юнга с одной строкой длиной п, т. е. они
нумеруются одним целым числом п. Но в гл. 10 мы для неприводимых
представлений группы SU2 применяли обозначение D6'>, где j = 0, V2, 1 >
3/2. • • •, поскольку группа SU2 гомоморфна группе ?Я3 (см. также § 13).
Оба подхода объединяются соотношением /' = 1/2п. Это соотношение можно
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed