Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = — dx^ — dx'* — dx.j* -|- CVx4'2, (15.45)
так что координаты, дающие какую-либо другую формулу для интервала, не могут представлять собой непосредственных отсчетов масштабов и часов. Как было показано в конце п. 5, единственными преобразованиями, дающпмн интервал вида (15.45), будут преобразования Лоренца. Если мы хотим проделать преоб-
5*
68
Основные принцIlUы
разования более общего вида, такие, как например (15.3), то мы по необходимости должны будем отказаться от связи координатной системы с непосредственными отсчетами масштабов и часов. Бесполезно пытаться «улучшить» преобразование перехода к вращающимся осям, так как такое улучшение может только привести нас обратно к координатной системе, подобной системе с неподвижными осями, с которой мы начали.
Непригодность вращающихся осей при измерениях с масштабами и часами может быть рассмотрена и с физической точки зрения. Мы не можем иметь масштаб или часы в покое во вращающейся системе, не удерживая их, т. е. не подвергая молекулярной бомбардировке, что является «внешним влиянием», действием которого на измерения нельзя пренебречь.
В системе координат ж, у, г, t масштаб и часы являются естественными средствами исследования. В других системах они будут, в отсутствии внешних воздействий, продолжать измерять ds; но отсчеты ds теперь не будут уже связаны столь простым образом с разностями координат, которые мы желаем определить, и вопрос сведется к более сложным вычислениям, требуемым формулой (2.1). Следовательно, масштаб и часы до некоторой степени теряют свое исключительное положение, и так как они являются довольно сложными приборами, то лучше будет обратиться к более простым средствам исследования. Мы рассмотрим поэтому сейчас два простые вспомогательные объекта — движущуюся материальную частицу и световой импульс.
В обычных прямоугольных координатах и времени х, у, s, t невозмущенная частица движется с равномерной скоростью, так !то ее траектория дается уравнениями
т. е. уравнениями прямой линии в четырех измерениях. При подстановке выражений (15.3) мы могли бы найти траекторию во вращающихся координатах, также при подстановке из (15.2) мы получили бы дифференциальные уравнения для любых интересующих нас координат. Ho можно пойти другим путем. Дифференциальные уравнения траектории могут быть написаны в виде
x = a ' bt, у— с dt, Z- = C-J- ft,
(15.5)
rPx <Ри d-'z d,4
ds- dsи (Isi Usi
(15.6)
15. Общие преобразования координат
69
так как отсюда по интегрировании, принимая во внимание условия (7.1), мы получаем обратно уравнения (15.5).
Уравнения (15.6) содержатся в одном единственном утверждении, что для всех произвольно малых вариаций траектории, которые обращаются в нуль на начальном и конечном пределах, выражение
— хорошо известное свойство прямой линии.
Получая условие (15.7), мы свободно пользовались геометрией системы ж, у, ж, t, данной уравнением (7.1), но так как окончательный результат вовсе не содержит координат, то он должен оставаться неизменным для любой системы координат, которой мы будем пользоваться. Чтобы получить в явном виде уравнения траектории в какой-либо данной системе координат, мы должны подставить в (15.7) соответствующее выражение (2.1) для ds и применить затем правила вариационного исчисления. Это вычисление мы проделаем в п. 28.
Путь светового импульса, будучи прямой линией в четырех измерениях, также удовлетворяет условию (15.7); но, так как световой импульс имеет особую скорость С, ТО ЭТО еще вносит добавочное условие, получеиное в п. 7, а именно:
Здесь опять окончательный результат не зависит от какой-либо координатной системы.
Таким образом, мы для поведения движущейся частицы и светового импульса получили уравнения (15.7) и (15.8), которые должны иметь место независимо от выбора координатной системы. Показания наших двух новых вспомогательных объектов так же связаны с интервалом, как в п. 3 были с ним связаны показания масштабов и часов. Нужно, однако, отметить, что в то время, как употребление двух старых эталонов зависит только от правильности основной аксиомы, употребление новых эталонов зависит от справедливости эмпирических законов движения частиц и распространения света. В дедуктивной теории такое обращение к эмпирическим законам является недостатком, от которого мы должны будем стремиться избавиться
стационарно
(15.7)
ds — 0.
(15.8
70
Основные принципы
16. СИЛОВЫЕ ПОЛЯ.
Положим, что наблюдатель выбрал определенную систему отсчета пространства-времени (X1, а?2, хъ, а?4), и что ее геометрия дана уравнением
= SudxI2 + Szzdx*2 + • • • + 2Srtdxidxs + • ¦ • (16Л)
Пусть теперь наблюдатель ошибочно считает, что геометрия системы дается уравнением
ds02 = — dxt2 — dxr/ — dx 32 -|- daJ42, (16.2)
так как ои лучше знаком из математики с геометрией, основанной на этой формуле. Мы пользуемся обозначением ds0 для отличия этой ошибочной величины интервала. Так как интервалы можно сравнивать экспериментальными методами, то наш наблюдатель должен скоро открыть, что ds0 не может быть согласовано с результатами наблюдений, что и доказывает его ошибку. Ho человеческий разум не так легко расстается с заблуждениями. Более вероятно то, что наш наблюдатель будет упорствовать в своем мнении и приписывать расхождение с наблюдениями какому-нибудь воздействию, имеющемуся налицо и влияющему на поведение его объектов исследования. Он будет вводить, так сказать, сверхъестественную причину, которую можно будет впнить затем в последствиях его ошибки. Посмотрим, как именно он может назвать эту причину.
